1 – Probabilités conditionnelles
Rappel : Soit \(A\) et \(B\) deux évènements tel que \(P(A) \neq 0\).
• On appelle probabilité conditionnelle de \(B\) sachant \(A\) le nombre défini par : \[P_{A}(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}\] • On a donc :
\(P(A \cap B) = P(A) \times P_{A}(B) = P(B) \times P_{B}(A)\).
• Si les évènements \(A_{1}\), \(A_{2}\), \(\ldots\) \(A_{n}\) forment une partition de l'univers \(\Omega\), on a : \(P(B) = P\left( A_{1} \cap B \right) + P\left( A_{2} \cap B \right)\)
\(+ \ldots + P(A_{n} \cap B)\)
• On appelle probabilité conditionnelle de \(B\) sachant \(A\) le nombre défini par : \[P_{A}(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}\] • On a donc :
\(P(A \cap B) = P(A) \times P_{A}(B) = P(B) \times P_{B}(A)\).
• Si les évènements \(A_{1}\), \(A_{2}\), \(\ldots\) \(A_{n}\) forment une partition de l'univers \(\Omega\), on a : \(P(B) = P\left( A_{1} \cap B \right) + P\left( A_{2} \cap B \right)\)
\(+ \ldots + P(A_{n} \cap B)\)
Arbre pondéré : Dans le cadre des probabilités conditionnelles, il est pratique de représenter la situation étudiée avec un arbre pondéré où l'on peut utiliser les trois règles suivantes :
• Règle 1 : Sur un même noeud, la somme des probabilités vaut \(1\).
• Règle 2 : La probabilité d'un chemin, est le produit des probabilités des branches de ce chemin.
• Règle 3 : La probabilité d'un évènement est la somme des probabilités des chemins qui mènent à celui-ci.
Propriété 1 : (Formule de Bayes) : Soit \(A\) et \(B\) deux évènements de probabilités non nulles.
\[P_{B}(A) = \dfrac{P(A) \times P_{A}(B)}{P(B)}\]
Remarque : Cette formule permet d'inverser le conditionnement dans une probabilité conditionnelle. Elle est à la base de l'inférence bayésienne, une méthode statistique qui permet de calculer la probabilité d'une hypothèse à partir de l'observation d'évènements connus.
2 – Indépendance
Rappel : Soit \(A\) et \(B\) deux évènements de probabilités non nulles.
• On dit que \(A\) et \(B\) sont indépendants si la réalisation de l'un n'a aucune influence sur celle de l'autre :
\(P_{A}(B) = P(B)\) et \(P_{B}(A) = P(A)\).
• Deux évènements sont indépendants si et seulement si :
\(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\).
• On dit que \(A\) et \(B\) sont indépendants si la réalisation de l'un n'a aucune influence sur celle de l'autre :
\(P_{A}(B) = P(B)\) et \(P_{B}(A) = P(A)\).
• Deux évènements sont indépendants si et seulement si :
\(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\).
Exemple 1 :
Un virus touche une personne sur \(10\,000\). Un test de dépistage est mis sur le marché avec une excellente fiabilité : le test indique « Positif » dans \(99\,\%\) des cas où la personne est malade et « Négatif » dans \(99{,}9\,\%\) des cas où la personne n'est pas malade.
Problématique : Si vous obtenez un test « positif », quel est votre risque d'être réellement malade ?
On choisit un individu au hasard dans la population de référence et on définit les deux évènements suivants :
\(M\) : « L'individu est malade » et \(T\) : « Son test est positif »
1) a. Exprimer en termes de probabilité les données présentes dans l'énoncé.
b. Déterminer la probabilité d'avoir un faux-positif et celle d'avoir un faux négatif.
2) Réaliser un arbre pondéré pour représenter cette situation.
3) a. Déterminer la précision du test c'est-à-dire la probabilité que le test donne le bon résultat.
b. Calculer le taux de positivité du test dans la population.
4) La valeur prédictive positive (VPP) d'un test est la probabilité que l'individu soit malade lorsque son test est positif et la valeur prédictive négative (VPN) est celle qu'il ne le soit pas lorsque son test est négatif.
a. Utiliser la formule de Bayes pour exprimer \(P_{T}(M)\) en fonction de \(P_{M}(T)\).
b. En déduire la valeur prédictive positive du test et répondre à la problématique.
c. De la même façon calculer la valeur prédictive négative (VPN) du test.
5) a. Compléter le tableau d'effectifs suivant donné pour une population d'\(1\) Million d'individus :
| Test positif | Test Négatif | Total | |
|---|---|---|---|
| Malade | |||
| Sain | |||
| Total |
b. Comment peut-on alors expliquer le « paradoxe » lié à la problématique ?
6) Dans un contexte épidémique, la prévalence de la maladie c'est-à-dire la proportion de personne porteur du virus dans la population varie au cours du temps. Cette prévalence sera notée \(p\).
a. Exprimer en fonction de \(p\), la \(VPP\) du test.
b. Déterminer la \(VPP\) du test lorsque le virus touche \(1\) personne sur \(1000\).
c. A partir de quelle prévalence \(p\), la \(VPP\) du test dépasse-t-elle \(50\,\%\) ?
Exemple 2 :
L'Observatoire Français des Drogues et des Toxicomanies (OFDT) a réalisé une enquête auprès des jeunes de \(18\) à \(25\) ans sur leur consommation de tabac et d'alcool. Parmi les personnes interrogées :
• \(78\,\%\) d'entre eux déclarent consommer de l'Alcool (au moins une fois lors du dernier mois)
• Parmi ceux qui consomment de l'alcool, \(43\,\%\) d'entre eux déclarent consommer également du tabac.
• Parmi ceux qui ne consomment pas d'alcool, \(15\,\%\) d'entre eux déclarent consommer du tabac.
On interroge un jeune au hasard. Les évènements suivants sont-ils indépendants ?
\(A\) : « La personne interrogée consomme de l'alcool » et \(B\) : « La personne interrogée consomme du tabac »
