1 – Rappels sur les variables aléatoires discrètes
Rappel : Soit \(\Omega\) l'univers d'une expérience aléatoire.
• Une variable aléatoire \(X\) est une fonction qui à chaque issue \(w\) de \(\Omega\) associe un unique nombre réel.
• Lorsque la variable est discrète, on note \(E = \left\{ x_{1};x_{2};\ldots;x_{n} \right\}\) l'ensemble des valeurs possibles pour \(X\).
• La loi de probabilité de \(X\) est l'ensemble des probabilités \(p_{i} = P(X = x_{i})\) avec \(x_{i} \in E\).
• L'espérance de \(X\) est le nombre :
\(E(X) = x_{1}p_{1} + x_{2}p_{2} + \ldots + x_{n}p_{n}\)
• La variance de \(X\) est le nombre :
\(V(X) = (x_{1} - E(X))^{2}p_{1} + (x_{2} - E(X))^{2}p_{2} + \ldots + (x_{n} - E(X))^{2}p_{n}\)
L'écart-type est le nombre \(\sigma(X) = \sqrt{V(X)}\).
• Une variable aléatoire \(X\) est une fonction qui à chaque issue \(w\) de \(\Omega\) associe un unique nombre réel.
• Lorsque la variable est discrète, on note \(E = \left\{ x_{1};x_{2};\ldots;x_{n} \right\}\) l'ensemble des valeurs possibles pour \(X\).
• La loi de probabilité de \(X\) est l'ensemble des probabilités \(p_{i} = P(X = x_{i})\) avec \(x_{i} \in E\).
• L'espérance de \(X\) est le nombre :
\(E(X) = x_{1}p_{1} + x_{2}p_{2} + \ldots + x_{n}p_{n}\)
• La variance de \(X\) est le nombre :
\(V(X) = (x_{1} - E(X))^{2}p_{1} + (x_{2} - E(X))^{2}p_{2} + \ldots + (x_{n} - E(X))^{2}p_{n}\)
L'écart-type est le nombre \(\sigma(X) = \sqrt{V(X)}\).
Explication : Une variable aléatoire est donc un nombre, une variable numérique \(X\) dont la valeur dépend du hasard : en fonction de l'issue de l'expérience aléatoire, la variable prend telle ou telle valeur. La loi d'une variable aléatoire permet de définir avec quelle probabilité la variable prend chacune des valeurs possibles. L'espérance est en quelque sorte la valeur moyenne de la variable, sur le long terme. L'écart-type permet quant à lui de mesurer comment seront dispersées les valeurs de la variable autour de l'espérance.
2 – Loi uniforme sur \(\{1;2;3;\ldots;n\}\)
Définition 1 : On dit qu'une variable \(X\) suit la loi uniforme sur \(\left\{ 1;2;3;\ldots;n \right\}\) et on note \(X \sim \mathcal{U}(n)\) si :
Pour tout \(k \in \left\{ 1;2;3;\ldots;n \right\}\), on a \(P(X = k) = \dfrac{1}{n}\)
Pour tout \(k \in \left\{ 1;2;3;\ldots;n \right\}\), on a \(P(X = k) = \dfrac{1}{n}\)
Exemple 1 :
On choisit au hasard un jour du mois de Janvier et on note \(X\) le numéro du jour choisi.
\(X\) suit alors une loi Uniforme sur \(\left\{ 1;2;3;\ldots;31 \right\}\) : \(X \sim \mathcal{U}(31)\). Pour tout entier \(1 \leq k \leq 31\), \(P(X = k) = \dfrac{1}{31}\).
Propriété 1 : Si une variable aléatoire \(X\) suit la loi uniforme sur l'ensemble \(\left\{ 1;2;3;\ldots;n \right\}\) alors on a :
• \(E(X) = \dfrac{n + 1}{2}\) • \(V(X) = \dfrac{n^{2} - 1}{12}\) (admis)
• \(E(X) = \dfrac{n + 1}{2}\) • \(V(X) = \dfrac{n^{2} - 1}{12}\) (admis)
Exemple 1 (suite) :
\(E(X) = \dfrac{31 + 1}{2} = 16\) et
\(V(X) = \dfrac{31^{2} - 1}{12} = \dfrac{960}{12} = 80\)
et donc \(\sigma(X) = \sqrt{80} \approx 9\)
Démonstration
Soit \(X\) une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur \(\left\{ 1;2;3;\ldots;n \right\}\).• La variable \(X\) prend les valeurs \(1;2;3;\ldots;n\) avec la même probabilité : \(P(X = k) = \dfrac{1}{n}\) avec \(1 \leq k \leq n\).
• \(E(X) = 1 \times \dfrac{1}{n} + 2 \times \dfrac{1}{n}\)
\(+ 3 \times \dfrac{1}{n} + \ldots + n \times \dfrac{1}{n}\)
\(E(X) = \dfrac{1}{n} + \dfrac{2}{n} + \dfrac{3}{n} + \ldots + \dfrac{n}{n}\)
\(= \dfrac{1 + 2 + 3 + \ldots + n}{n}\)
D'où, \(E(X) = \dfrac{\dfrac{n(n + 1)}{2}}{n}\)
\(= \dfrac{n(n + 1)}{2} \times \dfrac{1}{n} = \dfrac{n + 1}{2}\)
