1 – Loi de Bernoulli
Épreuve de Bernoulli : Expérience aléatoire à deux issues : Succès noté \(S\) et Échec noté \(\overline{S}\).
On note \(p\) la probabilité du succès et \(q\) celle de l'échec : \(P(S) = p\) et \(P\left( \overline{S} \right) = q = 1 - p\).
On note \(p\) la probabilité du succès et \(q\) celle de l'échec : \(P(S) = p\) et \(P\left( \overline{S} \right) = q = 1 - p\).
Définition 1 : On considère la variable aléatoire \(X\) qui vaut \(1\) en cas de succès et \(0\) en cas d'échec.
On dit alors que \(X\) suit la loi de Bernoulli de paramètre \(p\) et on note \(X \sim b(p)\).
On a alors \(P(X = 1) = p\) et \(P(X = 0) = 1 - p\).
On dit alors que \(X\) suit la loi de Bernoulli de paramètre \(p\) et on note \(X \sim b(p)\).
On a alors \(P(X = 1) = p\) et \(P(X = 0) = 1 - p\).
Exemple 1 :
Un joueur de tennis professionnel possède un taux de réussite au service de \(75\,\%\).
On note \(X\) la variable aléatoire qui vaut \(1\) en cas de succès et \(0\) en cas d'échec.
Dans ce cas \(X\) suit la loi de Bernoulli de paramètre \(p = \dfrac{3}{4} = 0{,}75\) : \(X \sim b(0{,}75)\).
On a alors \(P(X = 1) = 0{,}75\) et \(P(X = 0) = 1 - 0{,}75 = 0{,}25\).
Propriété 1 : Si \(X \sim b(p)\) alors on a \(E(X) = p\) et \(V(X) = p(1 - p)\) (admis).
Démonstration
Si \(X \sim b(p)\) alors on a \(E(X) = 1 \times p + 0 \times (1 - p) = p\).Exemple 1 (suite) :
Comme \(X \sim b(0{,}75)\) on a alors \(E(X) = 0{,}75\) et\(V(X) = \dfrac{3}{4} \times \left( 1 - \dfrac{3}{4} \right) = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{16}\).
2 – Schéma de Bernoulli
Définition 2 : Un schéma de Bernoulli de paramètres \(n\) et \(p\), est une expérience aléatoire qui consiste à répéter \(n\) fois, et de manière indépendante, la même épreuve de Bernoulli de paramètre \(p\).
Remarque : Deux épreuves sont indépendantes si le résultat de l'une n'a pas d'influence sur celui de l'autre.
Exemple 2 :
Le joueur réalise une série de \(3\) services consécutifs. Il s'agit donc d'un schéma de Bernoulli de paramètres \(n = 3\) et \(p = 0{,}75\). On peut représenter un schéma de Bernoulli à l'aide d'un arbre pondéré :
\(P(SSS) = 0{,}75 \times 0{,}75 \times 0{,}75\)
\(= 0{,}75^{3} \approx 0{,}421\)
2) Quelle est la probabilité qu'il rate tous ces services ?
\(P\left( \overline{S}\overline{S}\overline{S} \right) = 0{,}25^{3} \approx 0{,}016\)
3) Quelle est la probabilité qu'il réussisse exactement un service ?
\(P\left( S\overline{S}\overline{S} \right) + P\left( \overline{S}S\overline{S} \right) + P\left( \overline{S}\overline{S}S \right)\)
\(= 3 \times 0{,}75 \times 0{,}25^{2} = 0{,}141\)
4) Quelle est la probabilité qu'il rate exactement un service ?
\(P\left( \overline{S}SS \right) + P\left( S\overline{S}S \right) + P\left( SS\overline{S} \right)\)
\(= 3 \times 0{,}75^{2} \times 0{,}25 = 0{,}421\)
5) Quelle est la probabilité qu'il réussisse au moins un service ?
\(P(\text{au moins un succès}) = 1 - P\left( \overline{S}\overline{S}\overline{S} \right)\)
\(= 1 - 0{,}016 = 0{,}984\)
3 – Loi binomiale
Définition 3 : Soit \(X\) la variable aléatoire qui compte le nombre de succès à l'issue des \(n\) épreuves.
On dit que \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\) et on note \(X \sim B(n;p)\).
On dit que \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\) et on note \(X \sim B(n;p)\).
Exemple 3 :
On note \(X\) le nombre de services réussis sur les trois services réalisés. On a donc \(X \sim B(3;0{,}75)\).
\(X\) peut prendre les valeurs \(0\), \(1\), \(2\) et \(3\).
2) Calculer la loi de \(X\) puis la représenter avec un histogramme.
| Valeurs | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | Total |
|---|---|---|---|---|---|
| Probabilités | \(0{,}016\) | \(0{,}141\) | \(0{,}422\) | \(0{,}422\) | \(1\) |
Calculatrice : Lorsque le nombre de répétitions est grand, on utilise la calculatrice pour calculer \(P(X = k)\) ou \(P(X \leq k)\).
| Casio | TI |
|---|---|
|
Menu / \(STAT\) puis \(DIST\) (\(F5\)) / \(BINM\) (\(F5\))
• Pour calculer \(P(X = k)\) : \(Bpd\) (\(F1\)) • Pour calculer \(P(X \leq k)\) : \(Bcd\) (\(F2\)) • On complète : . \(Data\) : \(Var\) (\(F2\)) . \(x\) : Nombre de succès (\(k\)) . \(Numtrial\) : Nombre d'épreuves (\(n\)) . \(p\) : Probabilité du succès (\(p\)) |
Distr ( 2nd / Vars ). On descend avec la flèche :
• Pour calculer \(P(X = k)\) : \(BinomFdp(\) (\(0\)) • Pour calculer \(P(X \leq k)\) : \(BinomFRép(\) (\(A\)) • On utilise la syntaxe suivante : \(BinomFdp(n,p,k)\) ou \(BinomFRép(n,p,k)\) . \(k\) : Nombre de succès . \(n\) : Nombre d'épreuves . \(p\) : Probabilité du succès |
Exemple 4 :
Notre joueur de tennis effectue une série de \(10\) services. On note \(X\) le nombre de succès.
1) Quelle est la loi suivie par la variable \(X\) ?
\(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(10\) et \(0{,}75\) : \(X \sim B(10;0{,}75)\).
2) Calculer la probabilité qu'il réussisse :
• Exactement \(5\) services : \(P(X = 5) = 0{,}058\)
• Au maximum \(8\) services : \(P(X \leq 8) = 0{,}756\)
• Au moins \(8\) services :
\(P(X \geq 8) = 1 - P(X \leq 7) = 1 - 0{,}474 = 0{,}526\)
Propriété 2 : Si \(X \sim B(n;p)\) alors \(E(X) = np\) et \(V(X) = np(1 - p)\).
Exemple 5 :
Calculer l'espérance et l'écart-type de la variable \(X\) de l'exemple précédent.
\(E(X) = 10 \times 0{,}75 = 7{,}5\). Le nombre moyen de 1er service réussi par le joueur est \(7{,}5\).
\(V(X) = 10 \times 0{,}75 \times (1 - 0{,}75)\)
\(= 10 \times 0{,}75 \times 0{,}25 = 1{,}875\)
d'où \(\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{1{,}875} \approx 1{,}37\).
