1 – Coefficients binomiaux
Définition 1 : Le coefficient binomial \(\displaystyle\binom{n}{k}\) (avec \(0 \leq k \leq n\)) est le nombre de chemins qui mènent à \(k\) succès pour \(n\) répétitions dans l'arbre d'un schéma de Bernoulli.
Exemple 1 :
Coefficients binomiaux dans les cas \(n = 2\) et \(n = 3\) :
Triangle de Pascal : En pratique, on utilise le triangle de Pascal pour déterminer les \(\displaystyle\binom{n}{k}\).
| \(n \backslash k\) | \(\mathbf{0}\) | \(\mathbf{1}\) | \(\mathbf{2}\) | \(\mathbf{3}\) | \(\mathbf{4}\) | \(\mathbf{5}\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\mathbf{0}\) | \(1\) | |||||
| \(\mathbf{1}\) | \(1\) | \(1\) | ||||
| \(\mathbf{2}\) | \(1\) | \(2\) | \(1\) | |||
| \(\mathbf{3}\) | \(1\) | \(3\) | \(3\) | \(1\) | ||
| \(\mathbf{4}\) | \(1\) | \(4\) | \(6\) | \(4\) | \(1\) | |
| \(\mathbf{5}\) | \(1\) | \(5\) | \(10\) | \(10\) | \(5\) | \(1\) |
Exemple 2 :
On peut lire par exemple que : \(\displaystyle\binom{2}{0} = 1\) ; \(\displaystyle\binom{4}{1} = 4\) ; \(\displaystyle\binom{4}{3} = 4\) ; \(\displaystyle\binom{5}{2} = 10\).
Propriété 1 : Soit \(n\) un entier naturel et \(k\) un entier naturel tel que \(k \leq n - 1\).
• On a \(\displaystyle\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1\) • On a \(\displaystyle\binom{n}{1} = \binom{n}{n-1} = n\)
• Formule de Pascal : \(\displaystyle\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k} + \binom{n-1}{k-1}\)
• On a \(\displaystyle\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1\) • On a \(\displaystyle\binom{n}{1} = \binom{n}{n-1} = n\)
• Formule de Pascal : \(\displaystyle\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k} + \binom{n-1}{k-1}\)
2 – Application à la loi binomiale
Propriété 2 : Si \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\), alors pour tout \(k\) compris entre \(0\) et \(n\) on a :
\[P(X = k) = \binom{n}{k} \times p^{k} \times q^{n - k}\]
avec \(q = 1 - p\)
Remarque : On pourra retenir le principe suivant :
\[P(X = k) = \underbrace{\binom{n}{k}}_{\text{Nombre de chemins}} \times p^{\text{Nombre de succès}} \times q^{\text{Nombre d'échecs}}\]
Exemple 3 :
On lance \(5\) fois un dé bien équilibré. Quelle est la probabilité d'avoir exactement deux « 6 » ?
Soit \(X\) le nombre de « 6 » obtenus. \(X\) compte le nombre de succès sur les \(5\) épreuves : on a \(X \sim B\left(5;\dfrac{1}{6}\right)\). \(P(X = 2) = \binom{5}{2} \times \left( \dfrac{1}{6} \right)^{2} \times \left( 1 - \dfrac{1}{6} \right)^{5 - 2}\)
\(= 10 \times \left( \dfrac{1}{6} \right)^{2} \times \left( \dfrac{5}{6} \right)^{3} \approx 0{,}16\)
