Dans cette fiche nous allons présenter la loi géométrique appelée aussi loi du premier succès.
Définition 1 : On considère une épreuve de Bernoulli de paramètre \(p\) que l'on répète de façon indépendante.
On dit qu'une variable \(X\) suit une loi géométrique de paramètre \(p\) et on note \(X \sim \mathcal{G}(p)\) si \(X\) compte le nombre de fois qu'il faut répéter cette épreuve pour obtenir un premier succès.
On dit qu'une variable \(X\) suit une loi géométrique de paramètre \(p\) et on note \(X \sim \mathcal{G}(p)\) si \(X\) compte le nombre de fois qu'il faut répéter cette épreuve pour obtenir un premier succès.
Remarque : La variable \(X\) peut alors prendre toutes les valeurs entières \(k \geq 1\).
Exemple 1 :
Un joueur de fléchette touche le centre de la cible avec une probabilité de \(10\,\%\). Le joueur lance plusieurs fléchettes, jusqu'à ce qu'il parvienne à toucher le centre de la cible. On suppose que chaque lancer est indépendant des précédents. Soit \(X\) le nombre de lancers nécessaires pour le joueur alors \(X \sim \mathcal{G}(0{,}1)\).
• \(P(X = 2) = 0{,}9 \times 0{,}1 = 0{,}09\)
• \(P(X = 3) = 0{,}9^{2} \times 0{,}1 = 0{,}081\)
Propriété 1 : Si \(X \sim \mathcal{G}(p)\) alors pour tout entier \(k \geq 1\),
\[P(X = k) = p \times (1 - p)^{k - 1}\]
Exemple 2 :
La probabilité que le joueur y parvienne au \(10^{\text{ème}}\) lancer :
\(P(X = 10) = 0{,}1 \times 0{,}9^{9} \approx 0{,}0387\)
Calculatrice : Il est possible d'obtenir les probabilités liées à une loi géométrique grâce à la calculatrice :
| Casio | TI |
|---|---|
|
Menu / \(STAT\) puis \(DIST\) (\(F5\)) / \(Geo\) (\(F6/F2\))
• Pour calculer \(P(X = k)\) : \(Gpd\) (\(F1\)) • Pour calculer \(P(X \leq k)\) : \(Gcd\) (\(F2\)) • On complète : . \(Data\) : \(Var\) (\(F2\)) . \(x\) : Nombre de répétitions avant le 1er succès (\(k\)) . \(p\) : Probabilité du succès (\(p\)) |
Distr ( 2nd / Vars ). On descend avec la flèche :
• Pour calculer \(P(X = k)\) : \(GeomtFdp(\) (\(F\)) • Pour calculer \(P(X \leq k)\) : \(GeomtFRép(\) (\(G\)) • On utilise la syntaxe suivante : \(GeomtFdp(p,k)\) ou \(GeomtFRép(p,k)\) . \(k\) : Nombre de répétitions avant le 1er succès . \(p\) : Probabilité du succès |
Propriété 2 : Si \(X \sim \mathcal{G}(p)\) alors \(E(X) = \dfrac{1}{p}\) et \(V(X) = \dfrac{1 - p}{p^{2}}\).
Exemple 3 :
Pour \(X \sim \mathcal{G}(0{,}1)\) on a \(E(X) = \dfrac{1}{0{,}1} = 10\) et
\(V(X) = \dfrac{1 - 0{,}1}{0{,}1^{2}} = \dfrac{0{,}9}{0{,}01} = 90\) et
\(\sigma(X) = \sqrt{90} \approx 9{,}5\).
En moyenne, le joueur parviendra à toucher le centre de la cible au bout du \(10^{\text{ème}}\) lancer.
Propriété 3 : (Loi sans mémoire) : Si \(X \sim \mathcal{G}(p)\) alors pour tout entier \(k\) et \(l\) non nuls,
\[P_{X > k}(X > k + l) = P(X > l)\]
Exemple 4 :
Le joueur de fléchette a raté ses \(10\) premiers coups. Quelle est la probabilité que le joueur ne réussisse pas dans les \(15\) premiers coups ?
\(P_{X > 10}(X > 15) = P(X > 5) = 1 - P(X \leq 5) = 1 - 0{,}40951 = 0{,}59049\) (valeur obtenue à la calculatrice)
