Cours n°3 — Ajustement non linéaire

Le tableau ci-dessous donne l'évolution du nombre d'employés dans une start-up en I.A. en fonction de l'année. On a représenté en figure 1 le nuage de points \(M(x_{i};y_{i})\) de cette série statistique. 1) Quel type d'ajustement semble-t-il le plus adapté pour le nuage de points \(M(x_{i};y_{i})\) ?
A la calculatrice on trouve un coefficient de corrélation linéaire \(r = 0{,}9886\).
Un ajustement affine serait possible mais un ajustement polynomial semble encore plus adapté.

2) On décide donc d'effectuer le changement de variable \(z = \sqrt{y} - 3\). Compléter la dernière ligne du tableau ci-dessus.

3) a. Représenter en figure 2 le nuage de points \(P_{i}(x_{i};z_{i})\) de cette nouvelle série statistique.
b. Un ajustement affine de ce nouveau nuage de points semble-t-il plus pertinent ?
Oui, car les points du nuage sont davantage alignés que dans le premier graphique.

4) a. A l'aide de la calculatrice, déterminer l'équation de la droite \(\mathcal{D}\) d'ajustement obtenue par la méthode des moindres carrés du nuage de points \(P_{i}(x_{i};z_{i})\) et donner le coefficient de corrélation.
Après saisie de la série statistique \((x_{i};z_{i})\) dans la calculatrice on trouve : \(a \approx 2{,}14\) et \(b = 2{,}76\).
La droite \(\mathcal{D}\) a donc pour équation \(\mathcal{D} : z = 2{,}14x + 2{,}76\).
Le coefficient de corrélation est \(r \approx 0{,}996\). L'ajustement affine est très pertinent.

b. Tracer cette droite en figure 2. On calcule les coordonnées de deux points \(A\) et \(B\) de la droite \(\mathcal{D}\).
\(x = 0\) : \(z = 2{,}14 \times 0 + 2{,}76 = 2{,}76\) (Ordonnée à l'origine). On place \(A(0\;;2{,}76)\).
\(x = 10\) : \(z = 2{,}14 \times 10 + 2{,}76 = 24{,}16\). On place \(B(10\;;24{,}16)\).

5) a. En déduire la fonction \(y = f(x)\) qui permet d'ajuster le nuage de points \(M(x_{i};y_{i})\).
On utilise le changement de variable \(z = \sqrt{y} - 3\). On obtient \(\sqrt{y} = z + 3\) d'où \(y = (z + 3)^{2}\).
Or, \(z = 2{,}14x + 2{,}76\) d'où :
\(y = (2{,}14x + 2{,}76 + 3)^{2} = (2{,}14x + 5{,}76)^{2}\)
On obtient en développant :
\(y = 4{,}5796x^{2} + 24{,}6528x + 33{,}1776\)

b. Tracer la courbe de la fonction \(f\) dans la figure 1.

6) Réaliser les estimations suivantes :

a. Le nombre d'employés qu'il y aura en \(2021\).
\(2021\) est l'année de rang \(8\) : donc \(x = 8\). On cherche le nombre d'employés \(y\).
On commence par utiliser la droite d'ajustement : \(z = 2{,}14 \times 8 + 2{,}76 \approx 19{,}88\).
On applique la fonction \(f\) :
\(y = 4{,}5796 \times 8^{2} + 24{,}6528 \times 8 + 33{,}1776 = 522{,}88\)
On peut estimer le nombre d'employés à \(523\) en \(2021\).

b. A partir de quelle année le nombre d'employés dépassera \(625\).
On sait que \(y = 625\). On cherche le rang de l'année \(x\).
On résout :
\(4{,}5796x^{2} + 24{,}6528x + 33{,}1776 = 625\)
soit :
\(4{,}5796x^{2} + 24{,}6528x - 591{,}8224 = 0\)
A la calculatrice on trouve : \(x_{1} \approx -14{,}37\) et \(x_{2} \approx 8{,}99\).
Le nombre d'employés dépasse \(625\) à partir de l'année de rang \(9\) donc à partir de \(2022\).