1 – Droite d'ajustement
- Lorsque les points sont presque alignés, on peut approcher le nuage à l'aide d'une droite d'ajustement. On dit alors que l'on réalise un ajustement affine : on recherche une droite qui approxime au mieux tous les points du nuage, en passant au plus près de ceux-ci. La droite obtenue est appelée la droite de régression.
- Un ajustement permet de faire des estimations : une interpolation lorsque la valeur à estimer se situe dans l'intervalle des valeurs connues et une extrapolation lorsqu'elle se situe à l'extérieur de cet intervalle.
Exemple 1 :
- Un ajustement affine est possible car les points sont presque alignés.
- Tracer « au jugé » un ajustement affine puis lire graphiquement l'équation de la droite de régression tracée : \(y = 11 - x\)
- Utiliser cet ajustement affine pour estimer graphiquement :
- Le prix d'un paquet pour \(50\) milliards de cigarettes vendues :
Interpolation avec \(y = 5\). On trouve \(x = 6\). Le paquet est vendu \(6\) €. - Le nombre de cigarettes vendues avec un paquet à \(10\) € :
Extrapolation avec \(x = 10\). On trouve \(y = 1\) soit \(10\) milliards.
- Le prix d'un paquet pour \(50\) milliards de cigarettes vendues :
2 – Droite des moindres carrés
Définition 1 :
On appelle droite des moindres carrés l'ajustement affine obtenu en minimisant la somme des carrés des distances entre les points du nuage et la droite.
Explication : Parmi toutes les droites qui peuvent réaliser un ajustement affine du nuage de points \(M_{1}\), \(M_{2}\), ..., \(M_{n}\), il en existe une telle que la somme des carrés des écarts \(E = d_{1}^{2} + d_{2}^{2} + \ldots + d_{n}^{2}\) soit minimale où \(d_{i} = A_{i}M_{i}\) et \(A_{i}\) est le point de la droite qui a la même abscisse que \(M_{i}\). C'est en quelque sorte la droite qui passe « au plus près » de tous les points du nuage en même temps.
Explication : Parmi toutes les droites qui peuvent réaliser un ajustement affine du nuage de points \(M_{1}\), \(M_{2}\), ..., \(M_{n}\), il en existe une telle que la somme des carrés des écarts \(E = d_{1}^{2} + d_{2}^{2} + \ldots + d_{n}^{2}\) soit minimale où \(d_{i} = A_{i}M_{i}\) et \(A_{i}\) est le point de la droite qui a la même abscisse que \(M_{i}\). C'est en quelque sorte la droite qui passe « au plus près » de tous les points du nuage en même temps.
Propriété 1 :
La droite des moindres carrés a pour équation \(y = ax + b\) avec :
\(a = \dfrac{\text{cov}(x;y)}{\sigma(x)^{2}}\) et \(b = \overline{y} - a\overline{x}\)
La droite des moindres carrés a pour équation \(y = ax + b\) avec :
\(a = \dfrac{\text{cov}(x;y)}{\sigma(x)^{2}}\) et \(b = \overline{y} - a\overline{x}\)
Remarque : Pour déterminer les coefficients \(a\) et \(b\) de l'équation, on utilise le tableur ou la calculatrice.
Tutoriel Casio : Dans le menu STAT, accéder à REG puis sélectionner Linear (ax+b).
Tutoriel TI : Touche STAT, dans l'onglet CALC, sélectionner RegLin(ax+b) puis Calculer.
Tutoriel TI : Touche STAT, dans l'onglet CALC, sélectionner RegLin(ax+b) puis Calculer.
Propriété 2 :
La droite des moindres carrés passe par le point moyen du nuage \(G(\overline{x};\overline{y})\).
La droite des moindres carrés passe par le point moyen du nuage \(G(\overline{x};\overline{y})\).
Exemple 2 :
- Déterminer à la calculatrice une équation de la droite \((d)\) des moindres carrés, puis tracer cette droite.
A la calculatrice on trouve : \(a \approx -0{,}92\) et \(b \approx 10{,}98\)
La droite des moindres carrés a pour équation \(y = -0{,}92x + 10{,}98\)
Pour la tracer on calcule les coordonnées de \(2\) points de celle-ci :- \(x = 0\) : \(y = 10{,}98\) donc \(A(0 ; 10{,}98)\)
- \(x = 8\) : \(y = -0{,}92 \times 8 + 10{,}98 = 3{,}62\) donc \(B(8 ; 3{,}62)\)
- Vérifier que le point moyen \(G(5{,}5 ; 5{,}925)\) appartient à \((d)\) :
\(-0{,}92 x_{G} + 10{,}98 = -0{,}92 \times 5{,}5 + 10{,}98\)
\(= 5{,}92 \approx y_{G}\)
Donc \(G \in (d)\) car ses coordonnées vérifient l'équation de la droite. - Utiliser cet ajustement affine pour retrouver par le calcul les estimations précédentes :
- Le prix d'un paquet pour \(50\) milliards de cigarettes vendues : on sait que \(y = 5\) et on cherche \(x\).
\(-0{,}92x + 10{,}98 = 5\)
\(\Leftrightarrow -0{,}92x = -5{,}98\)
\(\Leftrightarrow x = \dfrac{5{,}98}{0{,}92} \approx 6{,}5\). On peut estimer à \(6\) € le prix du paquet. - Le nombre de cigarettes vendues avec un paquet à \(10\) € : on sait que \(x = 10\) et on cherche \(y\).
\(y = -0{,}92 \times 10 + 10{,}98 = 1{,}78\). On peut estimer le nombre de cigarettes vendues à \(17{,}8\) milliards.
- Le prix d'un paquet pour \(50\) milliards de cigarettes vendues : on sait que \(y = 5\) et on cherche \(x\).
- Quel prix du paquet maximise la recette totale réalisée par la vente de cigarettes ?
\(\text{Recette} = \text{Prix d'une cigarette} \times \text{Nombre de ventes} = \dfrac{x}{20} \times y\)
\(R(x) = \dfrac{x}{20} \times (-0{,}92x + 10{,}98)\)
\(= -\dfrac{0{,}92}{20}x^{2} + \dfrac{10{,}98}{20}x = -0{,}046x^{2} + 0{,}549x\)
On dérive : \(R'(x) = -2 \times 0{,}046x + 0{,}549 = -0{,}092x + 0{,}549\).
On cherche quand la dérivée s'annule :
\(R'(x) = 0 \Leftrightarrow -0{,}092x + 0{,}549 = 0\)
\(\Leftrightarrow x = \dfrac{0{,}549}{0{,}092} \approx 6{,}5\).
Le paquet doit être vendu \(6{,}5\) €.
3 – Coefficient de corrélation linéaire
Définition 2 :
On considère une série statistique à deux variables \(x = (x_{1};\ldots;x_{n})\) et \(y = (y_{1};\ldots;y_{n})\). On appelle coefficient de corrélation linéaire de la série, le nombre \(r\) défini par :
\(r = \dfrac{\text{cov}(x;y)}{\sigma(x) \cdot \sigma(y)}\)
On considère une série statistique à deux variables \(x = (x_{1};\ldots;x_{n})\) et \(y = (y_{1};\ldots;y_{n})\). On appelle coefficient de corrélation linéaire de la série, le nombre \(r\) défini par :
\(r = \dfrac{\text{cov}(x;y)}{\sigma(x) \cdot \sigma(y)}\)
Propriété 3 :
Le coefficient de corrélation linéaire est compris entre \(-1\) et \(1\) : \(-1 \leq r \leq 1\)
Le coefficient de corrélation linéaire est compris entre \(-1\) et \(1\) : \(-1 \leq r \leq 1\)
Remarque : Si \(r\) est proche de \(-1\) ou \(1\), il y a une forte corrélation linéaire entre les deux variables et on pourra réaliser un ajustement affine. Si \(r\) est proche de \(0\), l'ajustement par une droite ne sera pas pertinent. Il se peut alors qu'un autre type de courbe puisse mieux ajuster le nuage (voir fiche suivante).
Calculatrice : Le coefficient de corrélation \(r\) s'obtient à la calculatrice en même temps que les coefficients \(a\) et \(b\).
Exemple 3 :
A la calculatrice on trouve \(r \approx -0{,}96\) : l'ajustement affine est donc approprié.
