1 – L'ensemble \(\mathbb{C}\)
• Dans \(\mathbb{R}\), l'équation \(x^{2} = -1\) n'a pas de solution : le carré d'un nombre réel est toujours positif.
• Au XVIe siècle, pour résoudre des équations de degré 3, les mathématiciens italiens (Cardan, Bombelli) ont eu l'idée d'introduire un nombre « imaginaire » de carré \(-1\) et de calculer avec lui comme avec un réel.
• Au XVIe siècle, pour résoudre des équations de degré 3, les mathématiciens italiens (Cardan, Bombelli) ont eu l'idée d'introduire un nombre « imaginaire » de carré \(-1\) et de calculer avec lui comme avec un réel.
Théorème (admis) : Il existe un ensemble noté \(\mathbb{C}\), appelé ensemble des nombres complexes, qui contient \(\mathbb{R}\) et un élément noté \(i \notin \mathbb{R}\) tel que \(i^{2} = -1\), et qui est muni d'une addition et d'une multiplication prolongeant celles de \(\mathbb{R}\), avec les mêmes règles de calcul.
Tout élément \(z\) de \(\mathbb{C}\) s'écrit de manière unique sous la forme \(z = a + ib\) avec \(a\) et \(b\) réels.
Tout élément \(z\) de \(\mathbb{C}\) s'écrit de manière unique sous la forme \(z = a + ib\) avec \(a\) et \(b\) réels.
Remarques :
• Tout réel \(a\) est un nombre complexe, à savoir \(a + 0i\) : \[\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}\]
• Il n'existe pas d'ordre dans \(\mathbb{C}\) compatible avec les opérations : écrire \(z < z'\) ou « \(z\) est positif » n'a aucun sens pour des nombres complexes non réels. Par exemple, \(i\) n'est ni positif ni négatif (son carré vaut \(-1\)).
• Tout réel \(a\) est un nombre complexe, à savoir \(a + 0i\) : \[\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}\]
• Il n'existe pas d'ordre dans \(\mathbb{C}\) compatible avec les opérations : écrire \(z < z'\) ou « \(z\) est positif » n'a aucun sens pour des nombres complexes non réels. Par exemple, \(i\) n'est ni positif ni négatif (son carré vaut \(-1\)).
Définition 1 : L'écriture \(z = a + ib\) (avec \(a, b \in \mathbb{R}\)) est appelée forme algébrique de \(z\).
• Le réel \(a\) est la partie réelle de \(z\), notée \(\operatorname{Re}(z)\).
• Le réel \(b\) est la partie imaginaire de \(z\), notée \(\operatorname{Im}(z)\).
• Le réel \(a\) est la partie réelle de \(z\), notée \(\operatorname{Re}(z)\).
• Le réel \(b\) est la partie imaginaire de \(z\), notée \(\operatorname{Im}(z)\).
Exemple 1 :
Donner la partie réelle et la partie imaginaire de \(z_{1} = 3 - 5i\), \(z_{2} = -i\), \(z_{3} = 7\) et \(z_{4} = 2i - 4\).
• \(z_{1} = 3 + (-5)i\) : \(\operatorname{Re}(z_{1}) = 3\) et \(\operatorname{Im}(z_{1}) = -5\).
• \(z_{2} = 0 + (-1)i\) : \(\operatorname{Re}(z_{2}) = 0\) et \(\operatorname{Im}(z_{2}) = -1\).
• \(z_{3} = 7 + 0i\) : \(\operatorname{Re}(z_{3}) = 7\) et \(\operatorname{Im}(z_{3}) = 0\).
• \(z_{4} = -4 + 2i\), donc \(\operatorname{Re}(z_{4}) = -4\) et \(\operatorname{Im}(z_{4}) = 2\).
Remarques :
• Si \(\operatorname{Im}(z) = 0\), alors \(z = a \in \mathbb{R}\) : le nombre \(z\) est donc réel.
• Si \(\operatorname{Re}(z) = 0\), alors \(z = ib\) : on dit que \(z\) est un imaginaire pur. L'ensemble des imaginaires purs est noté \(i\mathbb{R}\).
• On a donc \(\mathbb{C} = \mathbb{R} \cup i\mathbb{R}\) et \(\mathbb{R} \cap i\mathbb{R} = \{ 0 \}\).
• Si \(\operatorname{Im}(z) = 0\), alors \(z = a \in \mathbb{R}\) : le nombre \(z\) est donc réel.
• Si \(\operatorname{Re}(z) = 0\), alors \(z = ib\) : on dit que \(z\) est un imaginaire pur. L'ensemble des imaginaires purs est noté \(i\mathbb{R}\).
• On a donc \(\mathbb{C} = \mathbb{R} \cup i\mathbb{R}\) et \(\mathbb{R} \cap i\mathbb{R} = \{ 0 \}\).
Exemple 2 :
Pour quelles valeurs de \(m \in \mathbb{R}\) le nombre \(z = (m^{2} - 4) + (m + 1)i\) est-il réel ? imaginaire pur ?
\[\begin{aligned} \bullet\ z \in \mathbb{R} &\Leftrightarrow \operatorname{Im}(z) = 0 \Leftrightarrow m + 1 = 0 \\ &\Leftrightarrow m = -1 \end{aligned}\] On a alors \(z = (-1)^{2} - 4 = -3\). \[\begin{aligned} \bullet\ z \in i\mathbb{R} &\Leftrightarrow \operatorname{Re}(z) = 0 \Leftrightarrow m^{2} - 4 = 0 \\ &\Leftrightarrow m = 2 \text{ ou } m = -2 \end{aligned}\] On a alors \(z = 3i\) ou \(z = -i\).
Propriété 1 (puissances de \(i\)) : \(i^{0} = 1\) ; \(i^{1} = i\) ; \(i^{2} = -1\) ; \(i^{3} = -i\) ; \(i^{4} = 1\) ; puis les valeurs se répètent :
pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(i^{n + 4} = i^{n}\).
pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(i^{n + 4} = i^{n}\).
Démonstration
\(i^{3} = i^{2} \times i = -i\) et \(i^{4} = i^{2} \times i^{2} = (-1) \times (-1) = 1\).Donc pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(i^{n + 4} = i^{n} \times i^{4} = i^{n}\). □
Point de vigilance : le symbole \(\sqrt{\ }\) est réservé aux réels positifs : on n'écrit jamais « \(i = \sqrt{-1}\) ».
Sinon la règle \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}\) donnerait : \[\begin{aligned} -1 = i^{2} = i \times i &= \sqrt{-1} \times \sqrt{-1} \\ &= \sqrt{(-1) \times (-1)} = \sqrt{1} = 1 \end{aligned}\]
Sinon la règle \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}\) donnerait : \[\begin{aligned} -1 = i^{2} = i \times i &= \sqrt{-1} \times \sqrt{-1} \\ &= \sqrt{(-1) \times (-1)} = \sqrt{1} = 1 \end{aligned}\]
Méthode : Pour calculer \(i^{n}\), on effectue la division euclidienne de \(n\) par \(4\) : si \(n = 4q + r\) avec \(r \in \{ 0 ; 1 ; 2 ; 3 \}\),
alors \(i^{n} = (i^{4})^{q} \times i^{r} = i^{r}\).
alors \(i^{n} = (i^{4})^{q} \times i^{r} = i^{r}\).
Exemple 3 :
Calculer \(i^{2026}\) : \(2026 = 4 \times 506 + 2\) donc \(i^{2026} = (i^{4})^{506} \times i^{2} = 1 \times (-1) = -1\).
2 – Égalité de deux nombres complexes
Propriété 2 : Deux nombres complexes \(z = a + ib\) et \(z' = a' + ib'\) avec \(a\), \(b\), \(a'\), \(b'\) réels sont égaux si et seulement s'ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire :
\[z = z' \Leftrightarrow \begin{cases} a = a' \\ b = b' \end{cases}\]
Remarque : Cette propriété (qui traduit l'unicité de la forme algébrique) permet de remplacer une égalité dans \(\mathbb{C}\) par un système de deux équations dans \(\mathbb{R}\) : on dit que l'on identifie les parties réelles et les parties imaginaires.
Démonstration
(\(\Leftarrow\)) Si \(a = a'\) et \(b = b'\), alors \(a + ib = a' + ib'\).
(\(\Rightarrow\)) Réciproquement, si \(a + ib = a' + ib'\), alors \(a - a' = i(b' - b)\). Supposons par l'absurde que \(b \neq b'\). Alors \(i = \dfrac{a - a'}{b' - b} \in \mathbb{R}\) car \(a\), \(b\), \(a'\), \(b'\) sont réels, ce qui est absurde. Donc \(b = b'\), puis \(a - a' = 0\), soit \(a = a'\). □
Corollaire (conséquences de l'égalité dans \(\mathbb{C}\)) : Pour \(z = a + ib\) et \(z' = a' + ib'\) avec \(a\), \(b\), \(a'\), \(b'\) réels :
• \(z \neq z' \Leftrightarrow a \neq a'\) ou \(b \neq b'\)
• \(z = 0 \Leftrightarrow a = 0\) et \(b = 0\)
• \(z \neq 0 \Leftrightarrow a \neq 0\) ou \(b \neq 0\)
• \(z \neq z' \Leftrightarrow a \neq a'\) ou \(b \neq b'\)
• \(z = 0 \Leftrightarrow a = 0\) et \(b = 0\)
• \(z \neq 0 \Leftrightarrow a \neq 0\) ou \(b \neq 0\)
Méthode (résoudre une équation d'inconnue complexe \(z\) par identification) :
1. On pose \(z = x + iy\) avec \(x\) et \(y\) réels.
2. On remplace dans l'équation et on met chaque membre sous forme algébrique.
3. On identifie parties réelles et parties imaginaires : on obtient un système de deux équations réelles.
4. On le résout et on conclut.
1. On pose \(z = x + iy\) avec \(x\) et \(y\) réels.
2. On remplace dans l'équation et on met chaque membre sous forme algébrique.
3. On identifie parties réelles et parties imaginaires : on obtient un système de deux équations réelles.
4. On le résout et on conclut.
Exemple 4 :
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l'équation \(2z + 3i = iz + 5\).
• On pose \(z = x + iy\) avec \(x, y \in \mathbb{R}\).
• Alors : \[\begin{aligned} 2z + 3i &= 2(x + iy) + 3i = 2x + 2iy + 3i \\ &= 2x + i(2y + 3) \end{aligned}\] Et : \[\begin{aligned} iz + 5 &= i(x + iy) + 5 = ix + i^{2}y + 5 \\ &= ix - y + 5 = (5 - y) + ix \end{aligned}\] • Par identification : \[2x + i(2y + 3) = (5 - y) + ix \Leftrightarrow \begin{cases} 2x = 5 - y \\ 2y + 3 = x \end{cases}\] On remplace \(x\) par \(2y + 3\) dans la 1re équation : \(2(2y + 3) = 5 - y \Leftrightarrow 4y + 6 = 5 - y\), soit \(5y = -1\), d'où \(y = -\dfrac{1}{5}\).
Puis : \[x = 2 \times \left( -\dfrac{1}{5} \right) + 3 = \dfrac{-2}{5} + \dfrac{15}{5} = \dfrac{13}{5}\]
• Conclusion : l'équation admet une unique solution, \(z = \dfrac{13}{5} - \dfrac{1}{5}i\).
