1 – Définition et courbe représentative
Définition 1 : La fonction inverse est la fonction qui à chaque nombre réel \(x\) non nul associe son inverse \(\dfrac{1}{x}\).
Exemple 1 :
L'image de \(2\) est \(\dfrac{1}{2}\) ; l'image de \(-3\) est \(\dfrac{1}{-3} = -\dfrac{1}{3}\) ; l'image de \(\dfrac{1}{5}\) est \(\dfrac{1}{\frac{1}{5}} = 5\) ; l'image de \(0{,}01\) est \(\dfrac{1}{0{,}01} = 100\).
L'antécédent de \(\dfrac{1}{2}\) est \(2\) ; \(4 = \dfrac{1}{\frac{1}{4}}\) donc l'antécédent de \(4\) est \(\dfrac{1}{4}\) ; \(0{,}1 = \dfrac{1}{10}\) donc l'antécédent de \(0{,}1\) est \(10\).
\(0\) n'a pas d'image par la fonction inverse car on ne peut pas diviser par \(0\). \(0\) est une valeur interdite.
Ensemble de définition : \(\mathbb{R}^* = \mathbb{R} \setminus \{0\}\)
\(\mathbb{R}^* = \,]-\infty\,;\,0\,[\, \cup \,]\,0\,;\,+\infty\,[\).
\(\mathbb{R}^* = \,]-\infty\,;\,0\,[\, \cup \,]\,0\,;\,+\infty\,[\).
Courbe représentative : La courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole. Elle est symétrique par rapport à l'origine du repère.
| \(x\) | \(-4\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(-0{,}5\) | \(-0{,}25\) | \(0\) | \(0{,}25\) | \(0{,}5\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) |
| \(f(x)\) | \(-0{,}25\) | \(-0{,}33\) | \(-0{,}5\) | \(-1\) | \(-2\) | \(-4\) | \(||\) | \(4\) | \(2\) | \(1\) | \(0{,}5\) | \(0{,}33\) | \(0{,}25\) |
2 – Propriétés de la fonction inverse
Propriété 1 : La fonction inverse est dérivable sur \(\mathbb{R}^*\) et pour tout réel \(x\) non nul, on a
\[f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}\]
Remarque : Comme pour tout réel \(x\), \(x^2 > 0\), on a donc \(f'(x) < 0\) sur son ensemble de définition.
Propriété 2 : La fonction inverse est décroissante sur l'intervalle \(]-\infty\,;\,0\,[\) et sur l'intervalle \(]\,0\,;\,+\infty\,[\).
Remarque : La fonction inverse n'est pas décroissante sur \(\mathbb{R}^*\) qui n'est pas un intervalle. On a par exemple : \(-1 < 1\) mais \(f(-1) > f(1)\).
Démonstration
Dérivée de la fonction inverse \(f(x) = \dfrac{1}{x}\).On considère un nombre réel non nul quelconque \(a \neq 0\). Nous allons montrer que \(f\) est dérivable en \(a\).
Pour un pas \(h > 0\), calculons le taux d'accroissement entre \(a\) et \(a + h\) : \(\tau_a(h) = \dfrac{\dfrac{1}{a+h} - \dfrac{1}{a}}{h} = \dfrac{\dfrac{a - (a+h)}{(a+h)a}}{h}\)
\(= \dfrac{a - a - h}{(a+h)a} \times \dfrac{1}{h} = \dfrac{-h}{(a+h)a} \times \dfrac{1}{h}\)
\(= -\dfrac{1}{(a+h)a}\) Lorsque \(h\) se rapproche de \(0\), \(\tau_a(h) = -\dfrac{1}{(a+h)a}\) se rapproche du nombre réel \(-\dfrac{1}{a^2}\).
La fonction \(f\) est donc dérivable en \(a\) et on a donc
\(f'(a) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \tau_a(h) = -\dfrac{1}{a^2}\).
Comme \(a\) est un nombre réel non nul quelconque, la fonction inverse est donc dérivable sur \(\mathbb{R}^*\) et on a \(f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}\).
