1 – Limites en l'infini
Vers \(+\infty\)
Plus le nombre \(x\) prend des grandes valeurs positives, plus son inverse \(\dfrac{1}{x}\) prend des petites valeurs positives et se rapproche de \(0\).
On note alors : \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x} = 0^+\)
On note alors : \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x} = 0^+\)
Vers \(-\infty\)
Plus le nombre \(x\) prend des grandes valeurs négatives, plus son inverse \(\dfrac{1}{x}\) prend des petites valeurs négatives et se rapproche de \(0\).
On note alors : \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{1}{x} = 0^-\)
On note alors : \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{1}{x} = 0^-\)
Propriété 1 : L'inverse d'un « grand nombre » (positif ou négatif) est un « petit nombre » (positif ou négatif).
2 – Limites en zéro
Valeurs positives
Plus le nombre \(x\) prend des petites valeurs positives et se rapproche de \(0\), plus son inverse \(\dfrac{1}{x}\) prend des grandes valeurs positives.
On note alors :
\(\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0 \\ x > 0}} \dfrac{1}{x} = +\infty\) ou \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty\)
On note alors :
\(\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0 \\ x > 0}} \dfrac{1}{x} = +\infty\) ou \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty\)
Valeurs négatives
Plus le nombre \(x\) prend des petites valeurs négatives et se rapproche de \(0\), plus son inverse \(\dfrac{1}{x}\) prend des grandes valeurs négatives.
On note alors :
\(\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0 \\ x < 0}} \dfrac{1}{x} = -\infty\) ou \(\displaystyle\lim_{x \to 0^-} \dfrac{1}{x} = -\infty\)
On note alors :
\(\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0 \\ x < 0}} \dfrac{1}{x} = -\infty\) ou \(\displaystyle\lim_{x \to 0^-} \dfrac{1}{x} = -\infty\)
Propriété 2 : L'inverse d'un « petit nombre » (positif ou négatif) est un « grand nombre » (positif ou négatif).
3 – Interprétation graphique et asymptotes
Asymptote horizontale : Comme \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x} = 0\) et \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{1}{x} = 0\), la droite d'équation \(y = 0\) (l'axe des abscisses) est asymptote horizontale à la courbe de la fonction inverse en \(+\infty\) et en \(-\infty\).
Asymptote verticale : Comme \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x \to 0^-} \dfrac{1}{x} = -\infty\), la droite d'équation \(x = 0\) (l'axe des ordonnées) est asymptote verticale à la courbe de la fonction inverse.
