1 – Arbres pondérés
Pour représenter une expérience aléatoire, il est parfois utile d'utiliser un arbre pondéré.
Exemple 1 :
L'Observatoire Français des Drogues et des Toxicomanies (OFDT) a réalisé une enquête auprès des jeunes de \(18\) à \(25\) ans sur leur consommation de tabac et d'alcool. Parmi les personnes interrogées :
- \(78\,\%\) d'entre eux déclarent consommer de l'Alcool (au moins une fois lors du dernier mois).
- Parmi ceux qui consomment de l'alcool, \(43\,\%\) d'entre eux déclarent consommer également du tabac.
- Parmi ceux qui ne consomment pas d'alcool, \(15\,\%\) d'entre eux déclarent consommer du tabac.
\(A\) : « La personne interrogée consomme de l'alcool »
\(B\) : « La personne interrogée consomme du tabac »
- Compléter l'arbre pondéré suivant :
- a. Quelle est la probabilité que la personne interrogée consomme du tabac et de l'alcool ?
D'après l'arbre on a \(P(A \cap B) \approx 0{,}34\), donc la probabilité est d'environ \(34\,\%\).
b. Quelle est la probabilité que la personne interrogée ne consomme ni tabac ni alcool ?
D'après l'arbre on a \(P(\overline{A} \cap \overline{B}) \approx 0{,}19\), donc la probabilité est d'environ \(19\,\%\). - Quelle est la probabilité que la personne interrogée consomme du tabac ?
\(P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B)\)
\(\approx 0{,}34 + 0{,}03 \approx 0{,}37\), donc la probabilité est d'environ \(37\,\%\).
Propriété 1 :
Dans un arbre pondéré, on peut utiliser les 3 règles suivantes :
- Règle 1 : A partir d'un même noeud, la somme des probabilités est égale à 1.
- Règle 2 : Pour calculer la probabilité d'un chemin, on multiplie les probabilités des branches de ce chemin.
- Règle 3 (Formule des probabilités totales) : La probabilité d'un évènement associé à plusieurs chemins est égale à la somme des probabilités de chacun de ces chemins :
\[P(B) = P(A_{1} \cap B) + P(A_{2} \cap B) + P(A_{3} \cap B)\]
2 – Probabilité conditionnelle
Définition 1 :
On appelle probabilité conditionnelle de \(B\) sachant \(A\), et on note \(P_{A}(B)\), la probabilité que l'évènement \(B\) se réalise sachant que l'évènement \(A\) est réalisé.
On appelle probabilité conditionnelle de \(B\) sachant \(A\), et on note \(P_{A}(B)\), la probabilité que l'évènement \(B\) se réalise sachant que l'évènement \(A\) est réalisé.
Exemple 1 (Suite) :
Dans cet exemple, \(P_{A}(B)\) désigne la probabilité que la personne interrogée consomme du tabac sachant qu'elle consomme de l'alcool. On a donc \(P_{A}(B) = 0{,}43\).
Remarque : Sur un arbre pondéré, \(P_{A}(B)\) se place sur la branche de \(A\) vers \(B\).
La lecture de l'arbre précédent nous permet d'obtenir la formule : \(P(A \cap B) = P_{A}(B) \times P(A)\).
Propriété 2 :
On considère deux évènements \(A\) et \(B\). On a la formule suivante : \[P_{A}(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = \dfrac{P(\text{intersection})}{P(\text{condition})}\]
On considère deux évènements \(A\) et \(B\). On a la formule suivante : \[P_{A}(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = \dfrac{P(\text{intersection})}{P(\text{condition})}\]
Exemple 1 (Suite) :
On interroge un fumeur, quelle est la probabilité qu'il boive de l'alcool ?On cherche la probabilité d'interroger une personne qui consomme de l'alcool sachant qu'elle consomme du tabac, c'est-à-dire \(P_{B}(A)\) :
\(P_{B}(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}\)
\(= \dfrac{0{,}34}{0{,}37} \approx 0{,}92\). Donc la probabilité est d'environ \(92\,\%\).
Remarque : Attention, \(P_{A}(B) \neq P_{B}(A)\).
