1 – Définition avec le cosinus
Notations : Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs.
• On appelle norme de \(\vec{u}\), et on note \(\|\vec{u}\|\), la longueur du vecteur \(\vec{u}\).
Dans un repère orthonormé, si \(\vec{u}\binom{x}{y}\) alors \(\|\vec{u}\| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}\) (Fig 1).
• On note \((\vec{u}\;;\;\vec{v})\) l'angle formé par les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) (Fig 2) :
Soient \(A\), \(B\) et \(C\) tels que \(\vec{u} = \overrightarrow{AB}\) et \(\vec{v} = \overrightarrow{AC}\) alors \((\vec{u}\;;\;\vec{v}) = \widehat{BAC}\).
Figure 1
Figure 2
• On appelle norme de \(\vec{u}\), et on note \(\|\vec{u}\|\), la longueur du vecteur \(\vec{u}\).
Dans un repère orthonormé, si \(\vec{u}\binom{x}{y}\) alors \(\|\vec{u}\| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}\) (Fig 1).
• On note \((\vec{u}\;;\;\vec{v})\) l'angle formé par les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) (Fig 2) :
Soient \(A\), \(B\) et \(C\) tels que \(\vec{u} = \overrightarrow{AB}\) et \(\vec{v} = \overrightarrow{AC}\) alors \((\vec{u}\;;\;\vec{v}) = \widehat{BAC}\).
Figure 1
Figure 2
Définition 1 : Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs. On note \(\alpha\) l'angle \((\vec{u}\;;\;\vec{v})\). On appelle produit scalaire de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\), et on note \(\vec{u}.\vec{v}\), le nombre réel défini par :
• Si \(\vec{u} = \vec{0}\) ou \(\vec{v} = \vec{0}\) alors \(\vec{u}.\vec{v} = 0\).
• Si les deux vecteurs sont non nuls, \(\vec{u}.\vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\alpha)\).
• Si \(\vec{u} = \vec{0}\) ou \(\vec{v} = \vec{0}\) alors \(\vec{u}.\vec{v} = 0\).
• Si les deux vecteurs sont non nuls, \(\vec{u}.\vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\alpha)\).
Remarques :
• Si \(\vec{u} = \overrightarrow{AB}\) et \(\vec{v} = \overrightarrow{AC}\) alors on obtient \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC})\).
• L'opération \(\vec{u}.\vec{v}\) est appelée « produit scalaire » car on multiplie deux vecteurs pour obtenir un nombre.
• En physique, le travail \(W\) d'une force \(\vec{F}\) lors d'un déplacement rectiligne \(\overrightarrow{AB}\) est le produit scalaire \(\vec{F}.\overrightarrow{AB}\).
Il s'agit de l'énergie (exprimée en Joules) fournie par la force \(\vec{F}\) au cours du déplacement \(\overrightarrow{AB}\).
• Si \(\vec{u} = \overrightarrow{AB}\) et \(\vec{v} = \overrightarrow{AC}\) alors on obtient \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC})\).
• L'opération \(\vec{u}.\vec{v}\) est appelée « produit scalaire » car on multiplie deux vecteurs pour obtenir un nombre.
• En physique, le travail \(W\) d'une force \(\vec{F}\) lors d'un déplacement rectiligne \(\overrightarrow{AB}\) est le produit scalaire \(\vec{F}.\overrightarrow{AB}\).
Il s'agit de l'énergie (exprimée en Joules) fournie par la force \(\vec{F}\) au cours du déplacement \(\overrightarrow{AB}\).
Exemple 1 :
On considère \(A\), \(B\) et \(C\) trois points distincts tels que :
\(AB = 5\), \(AC = 3\) et \(\widehat{BAC} = \dfrac{\pi}{3}\;(60°)\). Calculons le produit scalaire \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\).
Cas particuliers :
• Si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont deux vecteurs colinéaires :
Figure 3
Figure 4
Figure 5
. Si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ont le même sens alors \(\alpha = (\vec{u}\;;\;\vec{v}) = 0\) et donc \(\cos(\alpha) = 1\).
On obtient donc \(\vec{u}.\vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|\).
. Si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ont un sens contraire alors \(\alpha = (\vec{u}\;;\;\vec{v}) = \pi\;(180°)\) et donc \(\cos(\alpha) = -1\).
On obtient donc \(\vec{u}.\vec{v} = -\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|\).
• Le produit scalaire de \(\vec{u}\) avec lui-même est appelé carré scalaire de \(\vec{u}\) et noté \(\vec{u}^{\,2}\) : \[\vec{u}^{\,2} = \vec{u}.\vec{u} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{u}\| = \|\vec{u}\|^{2}\]
• Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont dits orthogonaux si \(\vec{u}.\vec{v} = 0\). C'est le cas lorsque :
. L'un des deux vecteurs est nul. Le vecteur nul \(\vec{0}\) est donc orthogonal à tout vecteur.
. \(\cos(\vec{u}\;;\;\vec{v}) = 0\) donc si \(\alpha = (\vec{u}\;;\;\vec{v}) = \pm\dfrac{\pi}{2}\;(90°)\) c'est-à-dire si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ont des directions perpendiculaires.
• Si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont deux vecteurs colinéaires :
Figure 3
Figure 4
Figure 5
. Si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ont le même sens alors \(\alpha = (\vec{u}\;;\;\vec{v}) = 0\) et donc \(\cos(\alpha) = 1\).
On obtient donc \(\vec{u}.\vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|\).
. Si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ont un sens contraire alors \(\alpha = (\vec{u}\;;\;\vec{v}) = \pi\;(180°)\) et donc \(\cos(\alpha) = -1\).
On obtient donc \(\vec{u}.\vec{v} = -\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|\).
• Le produit scalaire de \(\vec{u}\) avec lui-même est appelé carré scalaire de \(\vec{u}\) et noté \(\vec{u}^{\,2}\) : \[\vec{u}^{\,2} = \vec{u}.\vec{u} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{u}\| = \|\vec{u}\|^{2}\]
• Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont dits orthogonaux si \(\vec{u}.\vec{v} = 0\). C'est le cas lorsque :
. L'un des deux vecteurs est nul. Le vecteur nul \(\vec{0}\) est donc orthogonal à tout vecteur.
. \(\cos(\vec{u}\;;\;\vec{v}) = 0\) donc si \(\alpha = (\vec{u}\;;\;\vec{v}) = \pm\dfrac{\pi}{2}\;(90°)\) c'est-à-dire si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ont des directions perpendiculaires.
2 – Définition avec le projeté orthogonal
Rappel : Soit un point \(A\) et une droite \((D)\).
• On appelle projeté orthogonal de \(A\) sur \((D)\), le point \(H\) tel que \((AH) \perp (D)\).
• C'est le point \(M\) de la droite \((D)\) le plus proche de \(A\).
• La distance \(AH\) est alors appelée distance du point \(A\) à la droite \((D)\).
Elle est notée \(d(A,(D))\).
• On appelle projeté orthogonal de \(A\) sur \((D)\), le point \(H\) tel que \((AH) \perp (D)\).
• C'est le point \(M\) de la droite \((D)\) le plus proche de \(A\).
• La distance \(AH\) est alors appelée distance du point \(A\) à la droite \((D)\).
Elle est notée \(d(A,(D))\).
Définition 2 : Soit \(A\), \(B\) et \(C\) trois points du plan et \(H\) le projeté orthogonal de \(C\) sur \((AB)\).
On a alors : \[\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \begin{cases} AB \times AH &\text{si } \overrightarrow{AB} \text{ et } \overrightarrow{AH} \text{ sont dans le } \textbf{même sens}\text{.} \\ -AB \times AH &\text{si } \overrightarrow{AB} \text{ et } \overrightarrow{AH} \text{ sont dans le } \textbf{sens contraire}\text{.} \end{cases}\]
On a alors : \[\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \begin{cases} AB \times AH &\text{si } \overrightarrow{AB} \text{ et } \overrightarrow{AH} \text{ sont dans le } \textbf{même sens}\text{.} \\ -AB \times AH &\text{si } \overrightarrow{AB} \text{ et } \overrightarrow{AH} \text{ sont dans le } \textbf{sens contraire}\text{.} \end{cases}\]
Remarque : On doit vérifier que les deux définitions du produit scalaire données sont équivalentes.
• Si \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AH}\) sont dans le même sens.
\(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC})\).
Or le triangle \(AHC\) est rectangle en \(H\) donc on a :
\(\cos(\widehat{BAC}) = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \dfrac{AH}{AC}\).
On obtient \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \dfrac{AH}{AC} = AB \times AH\).
Or le triangle \(AHC\) est rectangle en \(H\) donc on a :
\(\cos(\widehat{BAC}) = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \dfrac{AH}{AC}\).
On obtient \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \dfrac{AH}{AC} = AB \times AH\).
• Si \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AH}\) sont dans le sens contraire.
\(\widehat{BAC} = \pi - \widehat{CAH}\) donc \(\cos(\widehat{BAC}) = -\cos(\widehat{CAH})\).
On a donc \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = -AB \times AC \times \cos(\widehat{CAH})\).
Or le triangle \(AHC\) est rectangle en \(H\) donc on a :
\(\cos(\widehat{CAH}) = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \dfrac{AH}{AC}\).
On obtient \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = -AB \times AC \times \dfrac{AH}{AC} = -AB \times AH\).
On a donc \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = -AB \times AC \times \cos(\widehat{CAH})\).
Or le triangle \(AHC\) est rectangle en \(H\) donc on a :
\(\cos(\widehat{CAH}) = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \dfrac{AH}{AC}\).
On obtient \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = -AB \times AC \times \dfrac{AH}{AC} = -AB \times AH\).
Remarques :
• Comme \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AH}\) sont colinéaires, on obtient dans les deux cas, \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}\).
• Le signe du produit scalaire donne la nature de l'angle : aigu, obtus ou droit.
• Comme \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AH}\) sont colinéaires, on obtient dans les deux cas, \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}\).
• Le signe du produit scalaire donne la nature de l'angle : aigu, obtus ou droit.
Exemple 2 :
Calculer le produit scalaire des vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).
Soient \(A\), \(B\) et \(C\) tels que \(\vec{u} = \overrightarrow{AB}\) et \(\vec{v} = \overrightarrow{AC}\).
Soit \(H\) le projeté orthogonal de \(C\) sur \((AB)\).
\(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AH}\) sont dans le même sens.
On a \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH} = AB \times AH = 3 \times 1 = 3\).
\(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} > 0\) donc l'angle \(\widehat{BAC}\) est aigu.
Soit \(H\) le projeté orthogonal de \(C\) sur \((AB)\).
\(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AH}\) sont dans le même sens.
On a \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH} = AB \times AH = 3 \times 1 = 3\).
\(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} > 0\) donc l'angle \(\widehat{BAC}\) est aigu.
