1 – Produit scalaire et coordonnées
Propriété 1 : Dans un repère orthonormé, si \(\vec{u}\binom{x}{y}\) et \(\vec{v}\binom{x'}{y'}\) alors \(\vec{u}.\vec{v} = xx' + yy'\).
Remarque : En particulier, on retrouve la formule pour la norme \(\|\vec{u}\|\) d'un vecteur \(\vec{u}\binom{x}{y}\) :
\[\|\vec{u}\|^{2} = \vec{u}.\vec{u} = xx + yy = x^{2} + y^{2}\]
Donc on a bien \(\|\vec{u}\| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}\).
Exemple 1 :
Soient le vecteur \(\vec{u}\binom{2}{-1}\) et les points \(A(2\;;\;3)\) et \(B(-5\;;\;4)\). Calculer \(\vec{u}.\overrightarrow{AB}\) :
• On calcule les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) : \(\overrightarrow{AB}\binom{x_B - x_A}{y_B - y_A} = \binom{-5 - 2}{4 - 3} = \binom{-7}{1}\)
• On calcule le produit scalaire : \(\vec{u}.\overrightarrow{AB} = 2 \times (-7) + (-1) \times 1 = -14 - 1 = -15\)
2 – Symétrie et bilinéarité du produit scalaire
Propriété 2 : Soient \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) trois vecteurs et \(k\) un nombre réel. On a les propriétés suivantes :
\[(1)\;\; \vec{u}.\vec{v} = \vec{v}.\vec{u}\]
\[(2)\;\; \vec{u}.(\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u}.\vec{v} + \vec{u}.\vec{w}\]
\[(3)\;\; \vec{u}.(k\vec{v}) = k(\vec{u}.\vec{v})\]
Remarque : L'opération « produit scalaire » fonctionne donc comme la multiplication des nombres.
Exemple 2 :
Utiliser les règles de calculs de la propriété, pour simplifier les expressions suivantes :
• (Distributivité à droite) \[\begin{aligned} (\vec{u} + \vec{v}).\vec{w} &= \vec{w}.(\vec{u} + \vec{v}) \\ &= \vec{w}.\vec{u} + \vec{w}.\vec{v} = \vec{u}.\vec{w} + \vec{v}.\vec{w} \end{aligned}\]
• \(\vec{v}.(-\vec{v}) = -\vec{v}.\vec{v} = -\vec{v}^{\,2} = -\|\vec{v}\|^{2}\)
• \[\begin{aligned} \vec{u}.(\vec{v} - \vec{w}) &= \vec{u}.(\vec{v} + (-\vec{w})) \\ &= \vec{u}.\vec{v} + \vec{u}.(-\vec{w}) = \vec{u}.\vec{v} - \vec{u}.\vec{w} \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} \vec{u}.(2\vec{u} + 5\vec{v}) &= \vec{u}.2\vec{u} + \vec{u}.5\vec{v} \\ &= 2\vec{u}.\vec{u} + 5\;\vec{u}.\vec{v} = 2\|\vec{u}\|^{2} + 5\vec{u}.\vec{v} \end{aligned}\] \[\begin{aligned} (\vec{u} + \vec{v}).(\vec{w} + \vec{t}) &= (\vec{u} + \vec{v}).\vec{w} + (\vec{u} + \vec{v}).\vec{t} \\ &= \vec{u}.\vec{w} + \vec{v}.\vec{w} + \vec{u}.\vec{t} + \vec{v}.\vec{t} \end{aligned}\] (Double distributivité)
3 – Produit scalaire et normes
Les règles de calculs précédentes conduisent aux identités remarquables suivantes :
\[\begin{aligned}
\|\vec{u} + \vec{v}\|^{2} &= (\vec{u} + \vec{v}).(\vec{u} + \vec{v}) \\
&= \|\vec{u}\|^{2} + 2\vec{u}.\vec{v} + \|\vec{v}\|^{2}
\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}
\|\vec{u} - \vec{v}\|^{2} &= (\vec{u} - \vec{v}).(\vec{u} - \vec{v}) \\
&= \|\vec{u}\|^{2} - 2\vec{u}.\vec{v} + \|\vec{v}\|^{2}
\end{aligned}\]
\[(\vec{u} + \vec{v}).(\vec{u} - \vec{v}) = \|\vec{u}\|^{2} - \|\vec{v}\|^{2}\]
On en déduit ainsi d'autres expressions du produit scalaire \(\vec{u}.\vec{v}\) en fonction des normes :
Propriété 3 : Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs. On a les formules suivantes :
\[\vec{u}.\vec{v} = \dfrac{1}{2}\left(\|\vec{u} + \vec{v}\|^{2} - \|\vec{u}\|^{2} - \|\vec{v}\|^{2}\right)\]
\[\vec{u}.\vec{v} = \dfrac{1}{2}\left(\|\vec{u}\|^{2} + \|\vec{v}\|^{2} - \|\vec{u} - \vec{v}\|^{2}\right)\]
Exemple 3 :
Soit \(ABC\) un triangle tel que \(AB = 4\), \(AC = 6\) et \(BC = 7\). Calculer \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\).
• (Relation de Chasles) \[\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CB}\]
• Donc : \[\begin{aligned} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} &= \dfrac{1}{2}(AB^{2} + AC^{2} - BC^{2}) \\[6pt] &= \dfrac{1}{2}\left(4^{2} + 6^{2} - 7^{2}\right) = \dfrac{3}{2} \end{aligned}\]
