Activité 1 : Un nouveau type d'équation

On considère l'équation \((E) : 2x - y + 1 = 0\) à deux inconnues \(x\) et \(y\) qui représentent des nombres réels.
On dit que le couple \((a\,;b)\) est solution de cette équation si, en remplaçant \(x\) par \(a\) et \(y\) par \(b\), l'égalité \((E)\) est vérifiée.

On cherche d'abord des solutions à cette équation.
1. Vérifier que les couples \((1\,;3)\) et \((-2\,;-3)\) sont des solutions de cette équation.
2. Trouver la valeur de \(a\) tel que le couple \((a\,;0)\) soit solution de cette équation.
3. Trouver la valeur de \(b\) tel que le couple \((0\,;b)\) soit solution de cette équation.
4. Trouver une autre solution de cette équation. Combien de couples solutions l'équation \((E)\) possède-t-elle ?
On veut ensuite représenter graphiquement ces solutions.
1. Dans le repère ci-dessous, représenter les cinq solutions précédentes en faisant correspondre chaque couple \((a\,;b)\) au point de coordonnées \((a\,;b)\).
2. Que peut-on conjecturer sur la position de ces solutions ?
On dit alors que l'équation \(2x - y + 1 = 0\) est une équation cartésienne de la droite obtenue.
Un point \((a\,;b)\) appartient à cette droite si et seulement si le couple \((a\,;b)\) est solution de l'équation.
1. Déterminer graphiquement un autre couple solution et vérifier le résultat par le calcul.
Dans le repère ci-dessous, représenter l'ensemble des solutions de l'équation \(x + 3y - 1 = 0\).
1. À l'aide d'un vecteur, représenter la direction prise par les deux droites tracées précédemment.
2. Comparer les coordonnées de ces vecteurs avec les coefficients des équations cartésiennes.
Lorsque l'on a une équation cartésienne sous la forme \(ax + by + c = 0\), alors le vecteur \(\overrightarrow{u}\binom{-b}{a}\) « dirige » la droite des solutions. On dit alors que c'est un vecteur directeur de cette droite.

Repère orthonormé vide pour tracer les droites

Correction — Activité 1

1. On cherche des solutions à l'équation \((E) : 2x - y + 1 = 0\).
a. \(2 \times 1 - 3 + 1 = 2 - 3 + 1 = 0\) et \(2 \times (-2) - (-3) + 1 = -4 + 3 + 1 = 0\).
Les couples \((1\,;3)\) et \((-2\,;-3)\) sont donc bien solutions de l'équation \((E)\).
b. \(2a - 0 + 1 = 0 \Leftrightarrow 2a + 1 = 0 \Leftrightarrow 2a = -1 \Leftrightarrow a = -\dfrac{1}{2} = -0{,}5\).
Le couple \((-0{,}5\,;0)\) est solution de \((E)\).
c. \(2 \times 0 - b + 1 = 0 \Leftrightarrow -b + 1 = 0 \Leftrightarrow -b = -1 \Leftrightarrow b = 1\).
Le couple \((0\,;1)\) est solution de \((E)\).
d. Par exemple \((2\,;5)\) est une solution car \(2 \times 2 - 5 + 1 = 4 - 5 + 1 = 0\).
L'équation \((E)\) possède en réalité une infinité de solutions.
2.
a. On place les points \(A(1\,;3)\), \(B(-2\,;-3)\), \(C(-0{,}5\,;0)\), \(D(0\,;1)\) et \(E(2\,;5)\).
b. On peut conjecturer que ces points sont alignés. Ils forment une droite nommée \((d_1)\).
c. Le point \(F(-1\,;-1)\) appartient à cette droite donc le couple \((-1\,;-1)\) est solution.
En effet, on a bien \(2 \times (-1) - (-1) + 1 = -2 + 1 + 1 = 0\).
3. L'ensemble des solutions de cette équation est une droite. On a donc besoin de seulement deux points. On commence par chercher deux solutions particulières à l'équation \(x + 3y - 1 = 0\).
Par exemple, \((1\,;0)\) et \((4\,;-1)\) conviennent. On place alors les points \(G(1\,;0)\) et \(H(4\,;-1)\) et on les relie pour obtenir une droite \((d_2)\). Chaque point de cette droite est alors solution de l'équation.
4.
a. Les vecteurs \(\overrightarrow{u}\binom{1}{2}\) et \(\overrightarrow{v}\binom{-3}{1}\) conviennent.
b. La première coordonnée correspond à l'opposé du deuxième coefficient et la deuxième coordonnée correspond au premier coefficient.

Droites (d1) et (d2) avec leurs vecteurs directeurs dans un repère

Activité 2 : Ensembles de points

Dans le repère correspondant, tracer les ensembles de points suivants.
1. L'ensemble des points \(M(x\,;y)\) dont l'abscisse est égale à \(2\). Qu'obtient-on ?
2. L'ensemble des points \(M(x\,;y)\) dont l'ordonnée est égale à \(3\). Qu'obtient-on ?
3. L'ensemble des points \(M(x\,;y)\) dont l'ordonnée est égale à l'abscisse. Qu'obtient-on ?
4. L'ensemble des points \(M(x\,;y)\) tel que \(y = 2x + 1\). Qu'obtient-on ?
5. L'ensemble des points \(M(x\,;y)\) tel que \(y = x^2\). Qu'obtient-on ?
Le point \(A(2\,;5)\) appartient-il aux différents ensembles de points tracés précédemment ?

Correction — Activité 2

1. On trace les ensembles de points suivants :
a. L'ensemble des points \(M(x\,;y)\) dont l'abscisse est égale à \(2\).
On obtient une droite verticale qui coupe l'axe des abscisses en \(x = 2\).
On dit que cette droite a pour équation \(x = 2\).

b. L'ensemble des points \(M(x\,;y)\) dont l'ordonnée est égale à \(3\).
On obtient une droite horizontale qui coupe l'axe des ordonnées en \(y = 3\).
On dit que cette droite a pour équation \(y = 3\).

c. L'ensemble des points \(M(x\,;y)\) dont l'ordonnée est égale à l'abscisse.
On obtient une droite oblique orientée à \(45°\).
Cette droite est appelée "Première bissectrice".
On dit que cette droite a pour équation \(y = x\).

Droite d'équation y = x (première bissectrice)

d. L'ensemble des points \(M(x\,;y)\) tel que \(y = 2x + 1\).
On obtient une droite oblique de coefficient directeur \(a = 2\) et d'ordonnée à l'origine \(b = 1\).
On dit que cette droite a pour équation \(y = 2x + 1\).

e. L'ensemble des points \(M(x\,;y)\) tel que \(y = x^2\).
On n'obtient pas une droite mais une parabole. C'est "à cause" du carré.

2. Le point \(A(2\,;5)\) appartient-il aux différents ensembles de points ?
a. Oui car \(x_A = 2\).
b. Non car \(y_A = 5 \neq 3\).
c. Non car \(x_A \neq y_A\). En effet, \(2 \neq 5\).
d. Oui car \(y_A = 2 \times x_A + 1\). En effet, \(5 = 2 \times 2 + 1\).
e. Non car \(y_A \neq x_A^2\). En effet, \(5 \neq 2^2\).

Activité n°1 — Équations de droites