1 – Équation réduite d'une droite
Théorème 1 :
Toute droite \((d)\) du plan est sous l'une des \(3\) formes suivantes :
Toute droite \((d)\) du plan est sous l'une des \(3\) formes suivantes :
Les trois formes d'équation d'une droite
Démonstration
Soit \((d)\) une droite d'équation cartésienne \(ax + by + c = 0\).- Si \((d)\) est verticale, alors \(\overrightarrow{u}\binom{0}{1}\) est un vecteur directeur de \((d)\) qui a donc une équation cartésienne sous la forme \(x + c = 0\), c'est-à-dire \(x = -c\).
- Si \((d)\) est horizontale, alors \(\overrightarrow{u}\binom{1}{0}\) est un vecteur directeur de \((d)\) qui a donc une équation cartésienne sous la forme \(-y + c = 0\), c'est-à-dire \(y = c\).
- Si \((d)\) est oblique, alors \(\overrightarrow{u}\binom{-b}{a}\) est un vecteur directeur de \((d)\) avec \(a\) et \(b \neq 0\). L'équation cartésienne est sous la forme \(ax + by + c = 0\), c'est-à-dire \(by = -ax - c\), c'est-à-dire : \[y = \underbrace{-\frac{a}{b}}_{= m}x + \underbrace{-\frac{c}{b}}_{= p}\]
Exemple 1 :
- Tracer la droite \((d_1) : x = 1\).
C'est la droite verticale passant par \(1\). - Tracer la droite \((d_2) : y = -2\).
C'est la droite horizontale passant par \(-2\). - Tracer la droite \((d_3) : y = -3x + 1\).
On calcule les coordonnées de deux points de la droite :
Si \(x = 0\) alors \(y = -3 \times 0 + 1 = 1\) donc \((0\,;1) \in (d_3)\).
Si \(x = 2\) alors \(y = -3 \times 2 + 1 = -5\) donc \((2\,;-5) \in (d_3)\). - Le point \(A(1\,;-2)\) appartient-il à \((d_1) : x = 1\) ?
Oui : \(x_A = 1\) donc \(A \in (d_1)\). - Le point \(B(-2\,;2)\) appartient-il à \((d_2) : y = -2\) ?
Non : \(y_B = 2 \neq -2\) donc \(B \notin (d_2)\). - Les points \(A\) et \(B\) appartiennent-ils à \((d_3) : y = -3x + 1\) ?
\(-3x_A + 1 = -3 \times 1 + 1 = -2 = y_A\) donc \(A \in (d_3)\).
\(-3x_B + 1 = (-3) \times (-2) + 1 = 7 \neq y_B\) donc \(B \notin (d_3)\).
2 – Coefficient directeur et ordonnée à l'origine
Définition 1 :
Soit \((d)\) une droite d'équation \(y = mx + p\).
Soit \((d)\) une droite d'équation \(y = mx + p\).
- \(m\) est appelé le coefficient directeur. C'est la pente de la droite \((d)\).
- \(p\) est appelé l'ordonnée à l'origine. C'est la valeur en laquelle la droite coupe l'axe des ordonnées.
Coefficient directeur \(m\) (pente)
Ordonnée à l'origine \(p\)
Exemple 2 :
Déterminer graphiquement l'équation des droites \((d_1)\) et \((d_2)\).
- Droite \((d_1)\) :
- \(m = 2\)
- \(p = -1\)
- Équation : \(y = 2x - 1\)
- Droite \((d_2)\) :
- \(m = -\dfrac{2}{3}\)
- \(p = 2\)
- Équation : \(y = -\dfrac{2}{3}x + 2\)
Théorème 2 :
Soit \((d)\) une droite d'équation \(y = mx + p\).
Pour tous points \(A(x_A\,;y_A)\) et \(B(x_B\,;y_B)\) de la droite \((d)\), on a : \(\displaystyle m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\)
\(\displaystyle = \frac{\text{Déplacement vertical entre } A \text{ et } B}{\text{Déplacement horizontal entre } A \text{ et } B}\)
Soit \((d)\) une droite d'équation \(y = mx + p\).
Pour tous points \(A(x_A\,;y_A)\) et \(B(x_B\,;y_B)\) de la droite \((d)\), on a : \(\displaystyle m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\)
\(\displaystyle = \frac{\text{Déplacement vertical entre } A \text{ et } B}{\text{Déplacement horizontal entre } A \text{ et } B}\)
Exemple 3 :
Dans chacun des cas, déterminer l'équation de la droite \((AB)\).
- \(A(2\,;5)\) et \(B(2\,;-6)\)
\(x_A = x_B = 2\) donc \((AB)\) est la droite verticale d'équation \(x = 2\). - \(A(-1\,;-3)\) et \(B(0\,;-3)\)
\(y_A = y_B = -3\) donc \((AB)\) est la droite horizontale d'équation \(y = -3\). - \(A(3\,;4)\) et \(B(1\,;-2)\)
\(x_A \neq x_B\) et \(y_A \neq y_B\) donc \((AB)\) est une droite oblique d'équation \(y = mx + p\).
Calculons \(m\) : \(m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{-2 - 4}{1 - 3} = \dfrac{-6}{-2} = 3\)
Déterminons \(p\) : on sait que l'équation de \((AB)\) est sous la forme \(y = 3x + p\).
Or \(A(3\,;4) \in (AB)\) donc \(y_A = 3x_A + p\), soit \(4 = 3 \times 3 + p\), soit \(4 = 9 + p\), d'où \(p = -5\).
Finalement, on trouve \((AB) : y = 3x - 5\).
