1 – Vecteur directeur d'une droite
Définition 1 :
Soit \((D)\) une droite du plan. On appelle vecteur directeur de \((D)\) tout vecteur \(\overrightarrow{u}\) qui possède la même direction que la droite \((D)\).
Soit \((D)\) une droite du plan. On appelle vecteur directeur de \((D)\) tout vecteur \(\overrightarrow{u}\) qui possède la même direction que la droite \((D)\).
Remarques :
- Une droite possède une infinité de vecteurs directeurs : tous ces vecteurs sont colinéaires (voir Figure 1).
- Un vecteur directeur de la droite \((AB)\) est le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) (voir Figure 2).
- Une droite peut être définie à partir d'un point \(A\) et d'un vecteur directeur \(\overrightarrow{u}\) : c'est l'ensemble des points \(M\) tels que les vecteurs \(\overrightarrow{AM}\) et \(\overrightarrow{u}\) sont colinéaires (voir Figure 3).
Figure 1 : Vecteurs directeurs colinéaires
Figure 2 : Vecteur directeur \(\overrightarrow{AB}\)
Figure 3 : Droite définie par un point et un vecteur
Exemple 1 :
- Déterminer graphiquement un vecteur directeur de la droite \((d)\).
Le vecteur \(\overrightarrow{u}\binom{1}{3}\) est un vecteur directeur de \((d)\).
- On considère les points \(A(-2\,;3)\) et \(B(1\,;-3)\). Déterminer un vecteur directeur de la droite \((AB)\).
Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\binom{x_B - x_A}{y_B - y_A} = \binom{1-(-2)}{-3-3} = \binom{3}{-6}\) est un vecteur directeur de la droite \((AB)\).
2 – Équation cartésienne d'une droite
Propriété 1 :
L'ensemble des points \(M(x\,;y)\) dont les coordonnées vérifient l'équation \(ax + by + c = 0\) avec \((a\,;b) \neq (0\,;0)\) est une droite \((D)\) de vecteur directeur \(\overrightarrow{u}\binom{-b}{a}\).
L'ensemble des points \(M(x\,;y)\) dont les coordonnées vérifient l'équation \(ax + by + c = 0\) avec \((a\,;b) \neq (0\,;0)\) est une droite \((D)\) de vecteur directeur \(\overrightarrow{u}\binom{-b}{a}\).
Remarques :
- On dit que \(ax + by + c = 0\) est une équation cartésienne de \((D)\).
- Un point \(M\) appartient à une droite \((D)\) si et seulement si, lorsque l'on remplace les variables \(x\) et \(y\) de l'équation de \((D)\) par les coordonnées \(x_M\) et \(y_M\) de \(M\), l'égalité est vérifiée.
Exemple 2 :
On considère la droite \((d)\) d'équation cartésienne \((d) : 2x - 3y + 4 = 0\).
- Vérifier que le point \(A(1\,;2)\) appartient à la droite \((d)\).
\(2x_A - 3y_A + 4 = 2 \times \mathbf{1} - 3 \times \mathbf{2} + 4 = 2 - 6 + 4 = 0\) donc \(A \in (d)\). - Donner un vecteur directeur \(\overrightarrow{u}\) de \((d)\).
\(a = 2\) et \(b = -3\) donc \(\overrightarrow{u}\binom{-b}{a} = \binom{3}{2}\) est un vecteur directeur de \((d)\). - Tracer la droite \((d)\) dans le repère ci-contre.
Propriété 2 :
Réciproquement, toute droite \((D)\) de vecteur directeur \(\overrightarrow{u}\binom{-b}{a}\) possède une équation cartésienne sous la forme \((D) : ax + by + c = 0\).
Réciproquement, toute droite \((D)\) de vecteur directeur \(\overrightarrow{u}\binom{-b}{a}\) possède une équation cartésienne sous la forme \((D) : ax + by + c = 0\).
Remarque : L'équation cartésienne d'une droite n'est pas unique : en multipliant l'égalité par un nombre réel \(k\) non nul, on obtient une autre équation cartésienne : \(kax + kby + kc = 0\).
Démonstration
On considère \((D)\) une droite du plan.- Soient \(A(x_A\,;y_A)\) un point de \((D)\) et \(\overrightarrow{u}\binom{-b}{a}\) un vecteur directeur de \((D)\).
- On doit vérifier que le point \(M(x\,;y)\) appartient à la droite \((D)\) si et seulement si \(ax + by + c = 0\).
- Or \(M(x\,;y)\) appartient à la droite \((D)\) \(\Leftrightarrow\) \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{AM}\) sont colinéaires \(\Leftrightarrow\) \(\det\left(\overrightarrow{u}\,;\overrightarrow{AM}\right) = 0\).
- Le vecteur \(\overrightarrow{AM}\) a pour coordonnées \(\overrightarrow{AM}\binom{x - x_A}{y - y_A}\) et \(\overrightarrow{u}\) a pour coordonnées \(\overrightarrow{u}\binom{-b}{a}\).
- Calculons :
\(\det\left(\overrightarrow{u}\,;\overrightarrow{AM}\right)\)
\(= (x - x_A) \times a - (y - y_A) \times (-b)\) \[= ax - ax_A + by - by_A\] \[= ax + by \underbrace{- ax_A - by_A}_{= c}\] - Finalement \(M(x\,;y) \in (D) \Leftrightarrow ax + by + c = 0\) avec \(c = -ax_A - by_A\). \(\square\)
Exemple 3 :
On considère les points \(A(-1\,;-1)\) et \(B(4\,;2)\). Déterminer une équation cartésienne de la droite \((AB)\).
- Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\binom{x_B - x_A}{y_B - y_A} = \binom{4-(-1)}{2-(-1)} = \binom{5}{3} = \binom{-b}{a}\) est un vecteur directeur de la droite \((AB)\).
- \(a = 3\) et \(b = -5\) : donc l'équation cartésienne est sous la forme \((AB) : 3x - 5y + c = 0\).
- Le point \(A(-1\,;-1)\) appartient à \((AB)\) donc :
\(3 \times (-1) - 5 \times (-1) + c = 0\) d'où \(-3 + 5 + c = 0\) d'où \(c = -2\). - Finalement, une équation cartésienne de la droite \((AB)\) est : \[(AB) : 3x - 5y - 2 = 0\]
