1 – Projeté orthogonal d'un point sur une droite
Définition 1 :
Soit un point \(A\) et une droite \((D)\). On appelle projeté orthogonal de \(A\) sur \((D)\), le point \(H\) tel que \((AH) \perp (D)\).
Soit un point \(A\) et une droite \((D)\). On appelle projeté orthogonal de \(A\) sur \((D)\), le point \(H\) tel que \((AH) \perp (D)\).
Projeté orthogonal \(H\) de \(A\) sur \((D)\)
Remarque : Si \(A \in (D)\) alors le projeté orthogonal \(H\) de \(A\) sur \((D)\) est confondu avec \(A\).
2 – Distance d'un point à une droite
Propriété 1 :
Le projeté orthogonal \(H\) de \(A\) sur \((D)\) est le point de la droite \((D)\) le plus proche de \(A\) :
Pour tout point \(M\) de \((D)\) distinct de \(H\), on a \(AH < AM\).
Le projeté orthogonal \(H\) de \(A\) sur \((D)\) est le point de la droite \((D)\) le plus proche de \(A\) :
Pour tout point \(M\) de \((D)\) distinct de \(H\), on a \(AH < AM\).
Le projeté orthogonal \(H\) est le point de \((D)\) le plus proche de \(A\)
Remarque : La distance \(AH\) est alors appelée distance du point \(A\) à la droite \((D)\) et notée \(d(A,(D))\).
Démonstration
Soit \(H\) le projeté orthogonal de \(A\) sur \((D)\) et \(M\) un point de \((D)\) distinct de \(H\).1er cas : Le point \(A\) appartient à \((D)\).
- Les points \(A\) et \(H\) sont confondus et on a \(AH = 0\).
- Comme \(M\) est distinct de \(H\), on a \(AM > 0\) et donc \(AM > AH\).
- Le triangle \(AMH\) est alors rectangle en \(H\). D'après le théorème de Pythagore, on a l'égalité \(AM^2 = MH^2 + AH^2\).
- Comme \(M\) est distinct de \(H\), on a \(MH > 0\) et donc \(MH^2 > 0\).
- On obtient donc \(AM^2 > AH^2\) et donc \(AM > AH\). \(\square\)
