1 – Rappel : Théorème de Pythagore
Théorème 1 :
Un triangle est rectangle si et seulement si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés : \[ABC \text{ est rectangle en } A \Leftrightarrow AB^2 + AC^2 = BC^2\]
Un triangle est rectangle si et seulement si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés : \[ABC \text{ est rectangle en } A \Leftrightarrow AB^2 + AC^2 = BC^2\]
Triangle rectangle en \(A\) : les côtés adjacents à l'angle droit et l'hypoténuse
2 – Cosinus, Sinus & Tangente
Définition 1 :
Soit \(ABC\) un triangle rectangle en \(A\). On note \(\alpha\) l'angle \(\widehat{ABC}\).
Soit \(ABC\) un triangle rectangle en \(A\). On note \(\alpha\) l'angle \(\widehat{ABC}\).
- Cosinus de l'angle \(\alpha\) : \(\cos(\alpha) = \dfrac{\text{côté adjacent à l'angle } \alpha}{\text{hypoténuse}} = \dfrac{AB}{BC}\)
- Sinus de l'angle \(\alpha\) : \(\sin(\alpha) = \dfrac{\text{côté opposé à l'angle } \alpha}{\text{hypoténuse}} = \dfrac{AC}{BC}\)
- Tangente de l'angle \(\alpha\) : \(\tan(\alpha) = \dfrac{\text{côté opposé à l'angle } \alpha}{\text{côté adjacent à l'angle } \alpha} = \dfrac{AC}{AB}\)
Triangle rectangle en \(A\) : côté opposé, côté adjacent et hypoténuse par rapport à l'angle \(\alpha\)
Remarques :
- On a \(\tan(\alpha) = \dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \dfrac{\frac{AC}{BC}}{\frac{AB}{BC}} = \dfrac{AC}{BC} \times \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{AC}{AB}\).
- On a \(0 \leq \cos(\alpha) \leq 1\) et \(0 \leq \sin(\alpha) \leq 1\) car l'hypoténuse est le plus grand des côtés.
Exemple 1 :
On considère le triangle \(ABC\) rectangle en \(A\) tel que \(AB = 4\), \(AC = 3\) et \(BC = 5\).
Soit \(\alpha\) l'angle \(\widehat{ABC}\) alors on a :
- \(\cos(\alpha) = \dfrac{4}{5} = 0{,}8\)
- \(\sin(\alpha) = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\)
- \(\tan(\alpha) = \dfrac{3}{4} = 0{,}75\)
2ND ou SHIFT + cos) on trouve \(\alpha = \cos^{-1}(0{,}8) \approx 39°\).
Propriété 1 :
Dans un triangle rectangle, pour tout angle aigu \(\alpha\), on a l'égalité : \[\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1\]
Dans un triangle rectangle, pour tout angle aigu \(\alpha\), on a l'égalité : \[\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1\]
Remarque : \(\cos^2(\alpha)\) et \(\sin^2(\alpha)\) désignent le carré de \(\cos(\alpha)\) et de \(\sin(\alpha)\).
Démonstration
Soit \(\alpha\) un angle aigu.- On considère \(ABC\) un triangle rectangle en \(A\) tel que \(\alpha = \widehat{ABC}\).
- On a :
\(\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = \left(\frac{AB}{BC}\right)^2 + \left(\frac{AC}{BC}\right)^2\)
\(= \frac{AB^2}{BC^2} + \frac{AC^2}{BC^2} = \frac{AB^2 + AC^2}{BC^2}\) - Or \(ABC\) est un triangle rectangle en \(A\) donc d'après le théorème de Pythagore on a : \(AB^2 + AC^2 = BC^2\).
- On obtient donc \(\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = \dfrac{BC^2}{BC^2} = 1\). \(\square\)
Exemple 2 :
Pour \(\alpha = 60°\), on a les valeurs remarquables suivantes : \(\cos(60°) = \dfrac{1}{2}\) et \(\sin(60°) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\).\(\cos^2(60°) + \sin^2(60°) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2\)
\(= \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{4}{4} = 1\)
