Activité 1 : Rénovation d'une toiture

Un particulier souhaite étudier sa toiture pour un projet de rénovation. Il dispose des mesures suivantes :
La maison mesure \(10\,m\) de long et \(8\,m\) de large et la longueur d'un rampant de toiture est de \(5{,}10\,m\).

Schéma d'une toiture avec les dimensions : 10 m de long, 8 m de large, rampant de 5,10 m

Déterminer la hauteur dans les combles au niveau du faîtage.
1. Calculer en degré la pente de la toiture.
2. Le particulier envisage un modèle de tuile qui nécessite une pente minimale de \(20\,\%\). Peut-il choisir ce modèle pour sa toiture ?
Calculer la surface totale de sa toiture.
1. Un couvreur professionnel lui propose le tarif de \(80\) €/m². Quel sera alors le montant du devis ?
2. Le modèle de tuile choisi par le particulier nécessite un recouvrement de \(12\) tuiles au \(m²\). Combien de tuiles devra-t-il commander pour réaliser sa toiture ?
3. Sachant que le prix d'une tuile à l'unité est de \(1{,}40\) €, calculer l'économie réalisée par le particulier s'il réalise les travaux par lui-même.

Correction — Activité 1

Schéma de la toiture avec les dimensions et les points A, B, H

1. Le point \(H\) est le projeté orthogonal du point \(B\) sur la droite \((AH)\). On veut la distance \(BH\).
Pour la calculer on utilise le théorème de Pythagore dans le triangle \(AHB\) rectangle en \(H\) :
\(AB^2 = AH^2 + BH^2\) d'où \(5{,}1^2 = 5^2 + BH^2\) d'où \(BH^2 = 5{,}1^2 - 5^2 = 1{,}01\) d'où \(BH = \sqrt{1{,}01} \approx 1{,}00\,m\).
2.
a. La pente en degré correspond à l'angle \(\widehat{BAH}\). On peut utiliser par exemple le cosinus :
\[\cos\left(\widehat{BAH}\right) = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \dfrac{AH}{AB} = \dfrac{5}{5{,}1} \approx 0{,}98\] d'où \(\widehat{BAH} = \cos^{-1}\left(\dfrac{5}{5{,}1}\right) \approx 11°\).
b. La pente en pourcentage est égale à \(\dfrac{1}{5} \times 100 = 20\,\%\).
Oui, le particulier peut choisir ce modèle de tuile.
3. La toiture est composée de deux rectangles identiques de longueur \(8\,m\) et de largeur \(5{,}10\,m\).
La surface de la toiture est donc donnée par \(S = 2 \times 8 \times 5{,}10 = 81{,}6\,m^2\).
4.
a. Le montant du devis sera de : \(81{,}6\) m² \(\times\) \(80\) €/m² \(= 6\,528\) €.
b. \(81{,}6 \times 12 = 979{,}2\). Il devra commander environ \(1\,000\) tuiles pour sa toiture.
c. \(1{,}40 \times 1\,000 = 1\,400\) €. Le particulier réalisera une économie de \(6\,528 - 1\,400 = 5\,128\) €.

Activité 2 : Douche à l'italienne

La réalisation d'une douche à l'italienne nécessite une pente au niveau du sol pour que l'écoulement des eaux se fasse correctement vers le caniveau. Cette pente doit être au minimum de \(1\,\%\) (c'est-à-dire \(1\,cm\) de dénivelé tous les mètres).

Schéma d'une douche à l'italienne avec la pente de 1%, dimensions de 1,40 m et caniveau de 9 cm

A quel angle correspond une pente de \(1\,\%\) ?
A quelle hauteur minimale doit être situé le point le plus haut par rapport au niveau des évacuations ?

Correction — Activité 2

Schéma de la douche à l'italienne avec les dimensions

1. On peut représenter une pente de \(1\,\%\) à l'aide du triangle rectangle suivant :

Triangle rectangle représentant une pente de 1% : 1 cm de hauteur pour 100 cm de longueur

\[\tan(\text{angle}) = \dfrac{1}{100} = 0{,}01\] \[\text{angle} = \tan^{-1}(0{,}01) = 0{,}57°\] 2. On peut représenter la situation à l'aide du triangle rectangle suivant :

Triangle rectangle avec une base de 140 cm et un angle de 0,57°

\(\tan(0{,}57°) = \dfrac{x}{140}\) d'où \(0{,}01 = \dfrac{x}{140}\) d'où \(x = 140 \times 0{,}01 = 1{,}4\,cm\).
Le point le plus haut doit être situé au minimum à \(9 + 1{,}4 = 10{,}4\,cm\).
Remarque : on peut aussi faire un produit en croix pour trouver les \(1{,}4\,cm\).

Activité n°2 — Trigonométrie