Activité 1 : A l'aide du logiciel GeoGebra
- Tracer la droite \((d)\) d'équation \(y = 2x - 1\).
- Créer deux curseurs \(a\) et \(b\), de type "nombre" variant entre \(-5\) et \(5\) par pas de \(0{,}1\).
- Tracer la droite \((d')\) d'équation \(y = ax + b\).
- Faire varier les curseurs \(a\) et \(b\). Qu'observe-t-on ?
- Positionner les curseurs de la manière suivante : \(a = 1{,}9\) et \(b = 2\).
- A l'aide du logiciel, déterminer les coordonnées du point d'intersection des deux droites.
- Retrouver ce résultat par le calcul.
Correction — Activité 1
4. On observe que les deux droites sont parallèles si et seulement si le curseur \(a\) est sur "\(2\)".Dans le cas contraire les deux droites se coupent en un point.
6. On trouve \(M(30\,;59)\).
7. Le point d'intersection \(M(x\,;y)\) appartient en même temps aux deux droites. Par conséquent, ses coordonnées vérifient les deux équations de droite et sont donc solutions du système suivant : \(\left\{ \begin{array}{l} y = 2x - 1 \\ y = 1{,}9x + 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = 2x - 1 \\ 2x - 1 = 1{,}9x + 2 \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = 2x - 1 \\ 2x - 1{,}9x = 2 + 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = 2x - 1 \\ 0{,}1x = 3 \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = 2 \times 30 - 1 = 59 \\ x = \dfrac{3}{0{,}1} = 30 \end{array} \right.\)
Activité 2 : La commande perdue
Un boulanger a perdu la commande d'un client qui avait réservé pour l'organisation d'un repas plusieurs baguettes à 1 € et pains à 2 €. Il se souvient cependant que son client avait commandé un total de \(13\) articles (ça porte chance) pour la somme totale de 17 €. Le but de cette activité est d'aider le boulanger à retrouver le nombre de baguettes et de pains qu'il doit fabriquer pour son client.
- Montrer que l'on peut modéliser ce problème à l'aide du système d'équations suivant : \[(S) : \left\{\begin{array}{l} y = -x + 13 \\ x + 2y - 17 = 0 \end{array}\right.\]
- Dans le repère ci-dessous, tracer les droites suivantes :
- La droite d'équation réduite \((d_1) : y = -x + 13\)
- La droite d'équation cartésienne \((d_2) : x + 2y - 17 = 0\)
- Résoudre graphiquement le problème.
- Résoudre le problème par le calcul.
Correction — Activité 2
1. Soit \(x\) le nombre de baguettes à 1 € et \(y\) le nombre de pains à 2 €.On sait que le nombre d'articles est \(13\) donc \(x + y = 13\).
De plus le montant total de la commande est 17 € donc \(1 \times x + 2 \times y = 17\) soit \(x + 2y = 17\).
Ainsi on a le système \(\left\{ \begin{array}{l} x + y = 13 \\ x + 2y = 17 \end{array} \right.\) qui équivaut au système \((S) : \left\{ \begin{array}{l} y = -x + 13 \\ x + 2y - 17 = 0 \end{array} \right.\)
2. Voir ci-dessous.
3. La solution du système correspond au point d'intersection des droites \((d_1)\) et \((d_2)\) : \(M(9\,;4)\).
On a donc \(\left\{ \begin{array}{l} x = 9 \\ y = 4 \end{array} \right.\). Le boulanger devra fabriquer \(9\) baguettes et \(4\) pains.
4. \(\left\{ \begin{array}{l} y = -x + 13 \\ x + 2y - 17 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = -x + 13 \\ x + 2(-x + 13) - 17 = 0 \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = -x + 13 \\ x - 2x + 26 - 17 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = -x + 13 \\ -x + 9 = 0 \end{array} \right.\) \[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = -9 + 13 = 4 \\ x = 9 \end{array} \right.\]
