1 – Droites parallèles
Définition 1 :
Deux droites \((d)\) et \((d')\) sont dites parallèles si elles ont la même direction.
Deux droites \((d)\) et \((d')\) sont dites parallèles si elles ont la même direction.
Droites parallèles : même direction
Remarques :
- Lorsque \((d)\) et \((d')\) sont parallèles, on note \((d) /\!/ (d')\).
- Deux droites \((d)\) et \((d')\) sont parallèles si et seulement si elles ne se coupent jamais. Leur intersection est vide : \((d) \cap (d') = \varnothing\).
Propriété 1 :
Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
Exemple 1 :
On considère les points \(A(-5\,;2)\) et \(B(5\,;6)\) ainsi que la droite \((d)\) d'équation cartésienne \((d) : 2x - 5y + 3 = 0\). Les droites \((d)\) et \((AB)\) sont-elles parallèles ?- Dans l'équation cartésienne de \((d)\) on a \(a = 2\) et \(b = -5\). Donc un vecteur directeur de \((d)\) est \(\overrightarrow{u}\binom{-b}{a} = \overrightarrow{u}\binom{5}{2}\).
- Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est un vecteur directeur de la droite \((AB)\) : \[\overrightarrow{AB} = \binom{x_B - x_A}{y_B - y_A} = \binom{5 - (-5)}{6 - 2} = \binom{10}{4}\]
- \(\det\left(\overrightarrow{u}\,;\overrightarrow{AB}\right) = 5 \times 4 - 2 \times 10 = 20 - 20 = 0\)
- Donc les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{AB}\) sont colinéaires.
- On en conclut que \((d)\) et \((AB)\) sont parallèles.
Propriété 2 :
Deux droites obliques sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.
Deux droites obliques sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.
Exemple 2 :
On considère la droite \((d)\) d'équation cartésienne \((d) : -5x + 7y - 14 = 0\) ainsi que la droite \((d')\) d'équation réduite \((d') : y = \dfrac{3}{4}x\). Les droites \((d)\) et \((d')\) sont-elles parallèles ?- On calcule l'équation réduite de \((d)\) :
\(-5x + 7y - 14 = 0 \Leftrightarrow 7y = 5x + 14\)
\(\Leftrightarrow y = \frac{5}{7}x + 2\) \((d)\) a pour pente \(m = \dfrac{5}{7} \approx 0{,}71\). - \((d')\) a pour pente \(m' = \dfrac{3}{4} = 0{,}75\).
- Donc \(m \neq m'\) et donc \((d)\) et \((d')\) ne sont pas parallèles.
2 – Droites sécantes
- Si les droites \((d)\) et \((d')\) ne sont pas parallèles alors elles se coupent : on dit qu'elles sont sécantes.
Leur intersection est un point \(M\) : \((d) \cap (d') = \{M\}\). - A partir des équations de droites, il est possible de trouver les coordonnées de ce point d'intersection.
Propriété 3 :
Si \((d)\) et \((d')\) sont sécantes, alors leur point d'intersection a pour coordonnées l'unique solution du système formé par leurs équations de droites.
Si \((d)\) et \((d')\) sont sécantes, alors leur point d'intersection a pour coordonnées l'unique solution du système formé par leurs équations de droites.
Démonstration
Soit \((d)\) et \((d')\) deux droites sécantes.- Soit \(M(x_M\,;y_M)\) le point d'intersection de \((d)\) et \((d')\). On a alors \(M \in (d)\) et \(M \in (d')\).
- Ainsi, les coordonnées du point \(M\) vérifient à la fois l'équation de \((d)\) ainsi que celle de \((d')\).
- Cela signifie que \((x_M\,;y_M)\) est solution du système formé par les équations de droites de \((d)\) et \((d')\). \(\square\)
Exemple 3 :
Déterminer les coordonnées du point \(M(x\,;y)\) d'intersection entre les droites de l'exemple 2 : \((d) : -5x + 7y - 14 = 0\) et \((d') : y = \dfrac{3}{4}x\).On résout le système formé par les équations des droites \((d)\) et \((d')\) : \(\left\{\begin{array}{l} -5x + 7y - 14 = 0 \\ y = \dfrac{3}{4}x \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} -5x + 7 \times \dfrac{3}{4}x - 14 = 0 \\ y = \dfrac{3}{4}x \end{array}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} -\dfrac{20}{4}x + \dfrac{21}{4}x - 14 = 0 \\ y = \dfrac{3}{4}x \end{array}\right.\) \(\left\{\begin{array}{l} \dfrac{1}{4}x = 14 \\ y = \dfrac{3}{4}x \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x = 4 \times 14 = 56 \\ y = \dfrac{3}{4} \times 56 = 42 \end{array}\right.\) Le point d'intersection entre les droites \((d)\) et \((d')\) a pour coordonnées \(M(56\,;42)\).
