1 – Points alignés
Définition 1 :
On dit que trois points sont alignés s'ils appartiennent à une même droite.
On dit que trois points sont alignés s'ils appartiennent à une même droite.
Points \(A\), \(B\) et \(C\) alignés sur la droite \((d)\)
Méthode : Pour déterminer si 3 points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés :
- On détermine l'équation de la droite passant par deux des points.
- On vérifie que le troisième point appartient à cette droite.
Exemple 1 :
Les points \(A(-2\,;1)\), \(B(0\,;2)\) et \(C(4\,;4)\) sont-ils alignés ?- \(m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{2 - 1}{0 - (-2)} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5\) et \(p = 2\) car \(B(0\,;2) \in (AB)\).
La droite \((AB)\) a pour équation \(y = 0{,}5x + 2\). - On a \(0{,}5 \times x_C + 2 = 0{,}5 \times 4 + 2 = 2 + 2 = 4 = y_C\).
Donc \(C \in (AB)\) et \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés.
Propriété 1 :
Trois points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés si et seulement si les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.
Trois points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés si et seulement si les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.
Exemple 2 :
On considère les points \(A(-5\,;2)\), \(B(-2\,;1)\) et \(C(3\,;-1)\). Les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont-ils alignés ?
\(\overrightarrow{AB} = \binom{x_B - x_A}{y_B - y_A} = \binom{-2 - (-5)}{1 - 2}\)
\(= \binom{3}{-1}\) \(\overrightarrow{AC} = \binom{x_C - x_A}{y_C - y_A} = \binom{3 - (-5)}{-1 - 2}\)
\(= \binom{8}{-3}\) \(\det\left(\overrightarrow{AB}\,;\overrightarrow{AC}\right) = 3 \times (-3) - (-1) \times 8\)
\(= -9 + 8 = -1 \neq 0\) Donc les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) ne sont pas colinéaires.
Donc les points \(A\), \(B\) et \(C\) ne sont pas alignés.
\(= \binom{3}{-1}\) \(\overrightarrow{AC} = \binom{x_C - x_A}{y_C - y_A} = \binom{3 - (-5)}{-1 - 2}\)
\(= \binom{8}{-3}\) \(\det\left(\overrightarrow{AB}\,;\overrightarrow{AC}\right) = 3 \times (-3) - (-1) \times 8\)
\(= -9 + 8 = -1 \neq 0\) Donc les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) ne sont pas colinéaires.
Donc les points \(A\), \(B\) et \(C\) ne sont pas alignés.
2 – Milieu d'un segment
Propriété 2 :
Dans un repère du plan, on considère les points \(A(x_A\,;y_A)\) et \(B(x_B\,;y_B)\). Le milieu \(I\) du segment \([AB]\) a alors pour coordonnées : \[x_I = \frac{x_A + x_B}{2} \quad \text{et} \quad y_I = \frac{y_A + y_B}{2}\]
Dans un repère du plan, on considère les points \(A(x_A\,;y_A)\) et \(B(x_B\,;y_B)\). Le milieu \(I\) du segment \([AB]\) a alors pour coordonnées : \[x_I = \frac{x_A + x_B}{2} \quad \text{et} \quad y_I = \frac{y_A + y_B}{2}\]
Exemple 3 :
On considère les points \(A(-3\,;2)\) et \(B(5\,;4)\). Calculer les coordonnées du milieu \(I\) du segment \([AB]\).- \(x_I = \dfrac{x_A + x_B}{2} = \dfrac{-3 + 5}{2} = \dfrac{2}{2} = 1\)
- \(y_I = \dfrac{y_A + y_B}{2} = \dfrac{2 + 4}{2} = \dfrac{6}{2} = 3\)
Propriété 3 :
\(I\) est le milieu du segment \([AB]\) si et seulement si \(\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB} = \dfrac{1}{2} \cdot \overrightarrow{AB}\).
\(I\) est le milieu du segment \([AB]\) si et seulement si \(\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB} = \dfrac{1}{2} \cdot \overrightarrow{AB}\).
![Segment [AB] avec le milieu I et les vecteurs AI, IB et AB](/static/zmaths/images/cours/g3-2-milieu-segment-vecteurs.png)
Milieu \(I\) du segment \([AB]\) : \(\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)
Exemple 4 :
On considère un parallélogramme \(ABCD\) de centre \(O\). En utilisant les propriétés du parallélogramme, écrire le plus d'égalités vectorielles possible.- Les côtés opposés d'un parallélogramme sont parallèles et de même mesure : \[\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\]
- Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu :
\(O\) milieu de \([AC]\) : \(\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{OC} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AO} = 2\overrightarrow{OC}\).
\(O\) milieu de \([BD]\) : \(\overrightarrow{DO} = \overrightarrow{OB} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{DB}\) et \(\overrightarrow{DB} = 2\overrightarrow{DO} = 2\overrightarrow{OB}\).
