1 – Définition
Définition 1 : Soit \(x\) un nombre réel positif ou nul alors la racine carrée de \(x\), notée \(\sqrt{x}\), est l'unique nombre réel positif ou nul dont le carré vaut \(x\).
Remarques :
• La racine carrée est l'opération réciproque du carré.
• La racine carrée d'un nombre négatif n'est pas définie : en effet, un carré est toujours positif.
• La racine carrée est l'opération réciproque du carré.
• La racine carrée d'un nombre négatif n'est pas définie : en effet, un carré est toujours positif.
Carré et racine carrée : opérations réciproques
Exemple 1 :
• \(2^2 = 4\) donc \(\sqrt{4} = 2\) • \(5^2 = 25\) donc \(\sqrt{25} = 5\)
• \(\sqrt{0} = 0\) et \(\sqrt{1} = 1\).
2 – Propriétés algébriques
Propriété 1 :
• Pour tout nombre réel \(x\) positif ou nul on a \(\left(\sqrt{x}\right)^2 = x\)
• Pour tout nombre réel \(a\), on a \(\sqrt{a^2} = |a|\)
• Pour tout nombre réel \(x\) positif ou nul on a \(\left(\sqrt{x}\right)^2 = x\)
• Pour tout nombre réel \(a\), on a \(\sqrt{a^2} = |a|\)
Exemple 2 :
\(\left(\sqrt{8}\right)^2 = 8\) ; \(\sqrt{50^2} = 50\) ;
\(\sqrt{(-10)^2} = |-10| = 10\)
Propriété 2 : Pour tous nombres réels \(a\) et \(b\) positifs ou nuls on a :
\((1)\) \(\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}\)
\((2)\) \(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) (avec \(b \neq 0\))
\((1)\) \(\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}\)
\((2)\) \(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) (avec \(b \neq 0\))
Exemple 3 :
\((1) : \sqrt{8} \times \sqrt{2} = \sqrt{16} = 4\) \((2) : \sqrt{0{,}25} = \sqrt{\dfrac{1}{4}} = \dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5\)
Démonstration :
Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels positifs (avec \(b \neq 0\) pour le (2)).(1) • Calculons le carré de \(\sqrt{a} \times \sqrt{b}\) : \(\left(\sqrt{a} \times \sqrt{b}\right)^2 = \left(\sqrt{a}\right)^2 \times \left(\sqrt{b}\right)^2 = a \times b\)
• Calculons le carré de \(\sqrt{a \times b}\) : \(\left(\sqrt{a \times b}\right)^2 = a \times b\)
• On a l'égalité des carrés. Comme \(\sqrt{a \times b}\) et \(\sqrt{a} \times \sqrt{b}\) sont positifs, on a \(\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}\).
(2) • Calculons le carré de \(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) : \(\left(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)^2 = \dfrac{(\sqrt{a})^2}{(\sqrt{b})^2} = \dfrac{a}{b}\)
• Calculons le carré de \(\sqrt{\dfrac{a}{b}}\) : \(\left(\sqrt{\dfrac{a}{b}}\right)^2 = \dfrac{a}{b}\)
• On a l'égalité des carrés. Comme \(\sqrt{\dfrac{a}{b}}\) et \(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) sont positifs, on a \(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\). □
Remarque : Il est parfois utile de simplifier les racines carrées sous la forme \(a\sqrt{b}\) avec \(b\) le plus petit possible.
Exemple 4 :
\(\sqrt{180} = \sqrt{2^2 \times 3^2 \times 5} = \sqrt{2^2} \times \sqrt{3^2} \times \sqrt{5} = 2 \times 3 \times \sqrt{5} = 6\sqrt{5}\)
Propriété 3 : Pour tous nombres réels \(a\) et \(b\) positifs ou nuls on a :
\[\sqrt{a + b} < \sqrt{a} + \sqrt{b}\]
Exemple 5 :
\(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\) et \(\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7\) donc \(\sqrt{9 + 16} < \sqrt{9} + \sqrt{16}\)
Démonstration :
Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels positifs.• Calculons le carré de \(\sqrt{a + b}\) : \(\left(\sqrt{a + b}\right)^2 = a + b\).
• Calculons le carré de \(\sqrt{a} + \sqrt{b}\) : \(\left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)^2 = (\sqrt{a})^2 + 2 \times \sqrt{a} \times \sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b\).
• Comme \(2\sqrt{ab}\) est positif on obtient l'inégalité avec les carrés : \(\left(\sqrt{a + b}\right)^2 < \left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)^2\).
• Mais comme \(\sqrt{a + b}\) et \(\sqrt{a} + \sqrt{b}\) sont positifs, on obtient l'inégalité souhaitée : \(\sqrt{a + b} < \sqrt{a} + \sqrt{b}\). □
