Exercices n°4 — Racines carrées

Compléter les égalités suivantes :
\(1^2 = \ldots\) donc \(\sqrt{\ldots} = \ldots\)
\(2^2 = \ldots\) donc \(\sqrt{\ldots} = \ldots\)
\(3^2 = \ldots\) donc \(\sqrt{\ldots} = \ldots\)
\(4^2 = \ldots\) donc \(\sqrt{\ldots} = \ldots\)
\(5^2 = \ldots\) donc \(\sqrt{\ldots} = \ldots\)
\(6^2 = \ldots\) donc \(\sqrt{\ldots} = \ldots\)
\(7^2 = \ldots\) donc \(\sqrt{\ldots} = \ldots\)
\(8^2 = \ldots\) donc \(\sqrt{\ldots} = \ldots\)
\(9^2 = \ldots\) donc \(\sqrt{\ldots} = \ldots\)
\(10^2 = \ldots\) donc \(\sqrt{\ldots} = \ldots\)
\(11^2 = \ldots\) donc \(\sqrt{\ldots} = \ldots\)
\(12^2 = \ldots\) donc \(\sqrt{\ldots} = \ldots\)
\(13^2 = \ldots\) donc \(\sqrt{\ldots} = \ldots\)
\(14^2 = \ldots\) donc \(\sqrt{\ldots} = \ldots\)
\(15^2 = \ldots\) donc \(\sqrt{\ldots} = \ldots\)

Simplifier les racines carrées suivantes sous la forme \(a\sqrt{b}\) avec \(b\) le plus petit entier possible.
a. \(\sqrt{12}\)
b. \(\sqrt{48}\)
c. \(\sqrt{50}\)
d. \(\sqrt{60}\)
e. \(\sqrt{72}\)
f. \(\sqrt{75}\)
g. \(\sqrt{150}\)
h. \(\sqrt{270}\)
i. \(\sqrt{588}\)
j. \(\sqrt{999}\)

Simplifier les racines carrées suivantes sous la forme \(\dfrac{a\sqrt{b}}{c}\) avec \(b\) le plus petit entier possible.
a. \(\sqrt{\dfrac{50}{9}}\)
b. \(\sqrt{\dfrac{80}{16}}\)
c. \(\sqrt{\dfrac{99}{4}}\)
d. \(\sqrt{\dfrac{125}{64}}\)

1) À quelle racine carrée correspond :
a. Le triple de \(\sqrt{5}\)
b. La moitié de \(\sqrt{18}\)

2) Écrire les nombres suivants sous la forme \(\sqrt{a}\) avec \(a\) un nombre réel :
a. \(2\sqrt{3}\)
b. \(3\sqrt{2}\)
c. \(7\sqrt{5}\)
d. \(10\sqrt{7}\)
e. \(\dfrac{\sqrt{50}}{5}\)
f. \(\dfrac{1}{\sqrt{5}}\)
g. \(\dfrac{5}{\sqrt{20}}\)
h. \(\dfrac{\sqrt{2} \times \sqrt{6}}{2}\)

Justifier que les nombres suivants s'écrivent sous la forme d'un nombre entier.
a. \(\sqrt{12} \times \sqrt{3}\)
b. \(\dfrac{\sqrt{96}}{\sqrt{6}}\)
c. \(\sqrt{5} \times \sqrt{180}\)
d. \(\dfrac{\sqrt{7} \times \sqrt{56}}{\sqrt{2}}\)

Calculer et simplifier les expressions :
a. \(3\sqrt{27}\)
b. \(-2\sqrt{8}\)
c. \(\sqrt{15} \times \sqrt{20}\)
d. \(\sqrt{8} \times \sqrt{56}\)
e. \(\dfrac{\sqrt{56}}{\sqrt{21}}\)
f. \(\dfrac{\sqrt{24}}{\sqrt{54}}\)
g. \(\sqrt{15} \times \sqrt{33} \times \sqrt{35}\)
h. \(\sqrt{\dfrac{42}{25}} \times \sqrt{\dfrac{40}{28}}\)

Calculer et simplifier les expressions :
a. \((3\sqrt{5})^2\)
b. \((7\sqrt{2})^3\)
c. \((2\sqrt{3})^4\)
d. \(\sqrt{10^{12}}\)

Calculer et simplifier les expressions :
a. \((5 + \sqrt{15})(\sqrt{5} - 3)\)
b. \((\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2})\)
c. \((1 + \sqrt{2})^2\)
d. \((2 - 3\sqrt{5})^2\)

Calculer et simplifier les expressions :
a. \(\sqrt{(-1)^2}\)
b. \(\sqrt{(\sqrt{2} + 1)^2}\)
c. \(\sqrt{(2 - \pi)^2}\)
d. \(\sqrt{\left(2 - \dfrac{7}{3}\right)^2}\)

1. Écrire le nombre \(3\sqrt{32} - 12\sqrt{50} + 8\sqrt{72}\) sous la forme \(a\sqrt{2}\) avec \(a\) un nombre entier.
2. Écrire le nombre \(\sqrt{300} - \sqrt{108} - \sqrt{192}\) sous la forme \(a\sqrt{3}\) avec \(a\) un nombre entier.
3. Simplifier les expressions suivantes :
   a. \(\sqrt{288} + \sqrt{720}\)
   b. \(\sqrt{6} + \sqrt{24} + \sqrt{54}\)
   c. \(9\sqrt{20} - 5\sqrt{45} - 2\sqrt{180}\)

Écrire ces nombres sans racine au dénominateur :
a. \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
b. \(\dfrac{3}{\sqrt{3}}\)
c. \(\dfrac{3}{2\sqrt{7}}\)
d. \(\dfrac{1}{1 + \sqrt{2}}\)
e. \(\dfrac{1 + \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5}}\)
f. \(\dfrac{\sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}\)