1 – Puissance d'un nombre réel
Définition 1 : Soit \(a\) un nombre réel, et \(n\) un entier naturel non nul.
• Le nombre \(a^n\) (qui se lit « \(a\) puissance \(n\) ») est défini par le produit \(a^n = \underbrace{a \times a \times \ldots \times a}_{n\text{ fois}}\).
• Si \(a \neq 0\) alors le nombre \(a^{-n}\) est défini par \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\).
• Le nombre \(a^n\) (qui se lit « \(a\) puissance \(n\) ») est défini par le produit \(a^n = \underbrace{a \times a \times \ldots \times a}_{n\text{ fois}}\).
• Si \(a \neq 0\) alors le nombre \(a^{-n}\) est défini par \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\).
Exemple 1 :
• \(2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8\) • \(5^{-2} = \dfrac{1}{5^2} = \dfrac{1}{5 \times 5} = \dfrac{1}{25} = 0{,}04\)
Remarques :
• Par convention, pour tout nombre réel \(a\), \(a^0 = 1\).
• Si \(n\) est un entier naturel alors \(0^n = 0\) et \(0^{-n}\) n'est pas défini : \(0^{-n} = \dfrac{1}{0^n} = \dfrac{1}{0}\) ce qui n'existe pas.
• Pour tout réel \(a\) on a \(a^1 = a\) et pour tout entier \(n \in \mathbb{Z}\) on a \(1^n = 1\).
• Si \(n\) est un entier naturel alors \(10^n = 1\underbrace{00\ldots0}_{n\text{ zéros}}\) et \(10^{-n} = 0\underbrace{,0\ldots0}_{n\text{ zéros}}1\).
• En programmation on utilise souvent le symbole « ^ » pour écrire les puissances : \(a^n\) s'écrit « a^n ».
• Par convention, pour tout nombre réel \(a\), \(a^0 = 1\).
• Si \(n\) est un entier naturel alors \(0^n = 0\) et \(0^{-n}\) n'est pas défini : \(0^{-n} = \dfrac{1}{0^n} = \dfrac{1}{0}\) ce qui n'existe pas.
• Pour tout réel \(a\) on a \(a^1 = a\) et pour tout entier \(n \in \mathbb{Z}\) on a \(1^n = 1\).
• Si \(n\) est un entier naturel alors \(10^n = 1\underbrace{00\ldots0}_{n\text{ zéros}}\) et \(10^{-n} = 0\underbrace{,0\ldots0}_{n\text{ zéros}}1\).
• En programmation on utilise souvent le symbole « ^ » pour écrire les puissances : \(a^n\) s'écrit « a^n ».
Exemple 2 :
• \(10^0 = 1\) • \(10^1 = 10\)
• \(10^9 = 1\,000\,000\,000 = 1\text{ Milliard}\)
• \(10^{-6} = 0{,}000001 = 1\text{ Millionième}\)
Propriété 1 : Soient \(a\) un nombre réel, et \(n\) et \(p\) deux entiers relatifs.
• \(a^n \times a^p = a^{n+p}\)
• \(\dfrac{a^n}{a^p} = a^{n-p}\)
• \((a^n)^p = a^{n \times p}\)
• \(\dfrac{1}{a^n} = a^{-n}\)
• \(a^n \times a^p = a^{n+p}\)
• \(\dfrac{a^n}{a^p} = a^{n-p}\)
• \((a^n)^p = a^{n \times p}\)
• \(\dfrac{1}{a^n} = a^{-n}\)
Remarque : \((a^n)^p \neq a^{n^p}\).
Exemple 3 :
• \(2^5 \times 2^3 = 2^{5+3} = 2^8 = 256\) • \(\dfrac{3^{15}}{3^{11}} = 3^4 = 81\)
• \((10^3)^2 = 10^6\) mais \((10^3)^2 \neq 10^{3^2} = 10^9\)
• \(\dfrac{1}{10^{-3}} = 10^{-(-3)} = 10^3 = 1\,000\)
Propriété 2 : Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels, et \(n\) un entier naturel.
• \((a \times b)^n = a^n \times b^n\)
• \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}\)
• \((a \times b)^n = a^n \times b^n\)
• \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}\)
Exemple 4 :
• \((4 \times 10)^3 = 4^3 \times 10^3 = 64 \times 1\,000 = 64\,000\) • \(\left(\dfrac{3}{7}\right)^2 = \dfrac{3^2}{7^2} = \dfrac{9}{49}\)
Remarque : \((a + b)^n \neq a^n + b^n\) et \((a - b)^n \neq a^n - b^n\).
Pour calculer \((a+b)^2\) et \((a-b)^2\) on utilise les identités remarquables : \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) et \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
Pour calculer \((a+b)^2\) et \((a-b)^2\) on utilise les identités remarquables : \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) et \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
2 – Écriture scientifique
Lorsque l'on doit écrire des très grands ou des très petits nombres on utilise les puissances de 10 pour faciliter l'écriture :
Définition 2 : Soit \(x\) un nombre décimal. Son écriture scientifique est sous la forme \(x = a \times 10^n\) avec \(1 \leq a < 10\) et \(n\) un entier relatif.
Exemple 5 :
• \(300\,000\,000 = 3 \times 10^9\)• \(0{,}000045 = 4{,}5 \times 10^{-5}\)
• \(525 \times 10^{15} = 5{,}25 \times 10^{17}\)
• \(0{,}37 \times 10^{10} = 3{,}7 \times 10^{9}\)
Remarque : Il existe également une variante plus compacte, avec la lettre \(E\) (pour exposant), pour la notation scientifique : \(a\,E\,n\) signifie \(a \times 10^n\). C'est le format généralement utilisé par les calculatrices.
Exemple 6 : Avec la calculatrice, donner l'écriture scientifique (3 chiffres significatifs) des nombres suivants :
Écran calculatrice : \(2^{100}\)
Écran calculatrice : \(\sin(3{,}15)\)
• \(\sin(3{,}15) \approx -8{,}41 \times 10^{-3}\)
