1 – Écriture fractionnaire
Définition 1 : Une fraction est un nombre qui est écrit sous la forme \(\dfrac{a}{b}\) avec \(b \neq 0\).
Remarques :
• \(a\) s'appelle le numérateur et \(b\) le dénominateur.
• Un même nombre possède plusieurs écritures fractionnaires. Par exemple : \(\dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{10} = \dfrac{40}{100} = 0{,}4\)
• La place du signe n'a pas d'importance : \(-\dfrac{a}{b} = \dfrac{-a}{b} = \dfrac{a}{-b}\)
• Pour tout nombre réel \(a\), on a \(\dfrac{a}{1} = a\). Pour tout nombre réel \(b\) non nul on a : \(\dfrac{0}{b} = 0\).
• Le dénominateur doit être non nul car on ne peut pas diviser par 0.
• \(a\) s'appelle le numérateur et \(b\) le dénominateur.
• Un même nombre possède plusieurs écritures fractionnaires. Par exemple : \(\dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{10} = \dfrac{40}{100} = 0{,}4\)
• La place du signe n'a pas d'importance : \(-\dfrac{a}{b} = \dfrac{-a}{b} = \dfrac{a}{-b}\)
• Pour tout nombre réel \(a\), on a \(\dfrac{a}{1} = a\). Pour tout nombre réel \(b\) non nul on a : \(\dfrac{0}{b} = 0\).
• Le dénominateur doit être non nul car on ne peut pas diviser par 0.
2 – Multiplication
Propriété 1 : Pour tous nombres réels \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) et \(k\) avec \(b\), \(d\) et \(k\) non nuls, on a
\[(1)\; : \dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}\]
\[(2)\; : k \times \dfrac{a}{b} = \dfrac{k \times a}{b}\]
\[(3)\; : \dfrac{k \times a}{k \times b} = \dfrac{a}{b}\]
Exemple 1 :
\((1) : \dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{7} = \dfrac{6}{35}\)\((2) : 5 \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{5 \times 2}{3} = \dfrac{10}{3}\)
\((3) : \dfrac{8}{6} = \dfrac{2 \times 4}{2 \times 3} = \dfrac{4}{3}\)
Remarque : La propriété (3) permet de simplifier les fractions. Lorsqu'une fraction de deux entiers n'est plus simplifiable on dit qu'elle est irréductible.
3 – Inverse et division
Propriété 2 : Pour tous nombres réels \(a\), \(b\) non nuls on a :
\[\dfrac{1}{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{b}{a}\]
Exemple 2 :
• \(\dfrac{1}{\dfrac{2}{5}} = \dfrac{5}{2}\)• \(\dfrac{1}{\dfrac{1}{3}} = \dfrac{3}{1} = 3\)
Pour diviser deux fractions on utilise le principe : « Diviser par un nombre c'est multiplier par son inverse »
Propriété 3 : Pour tous nombres réels \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) avec \(b\), \(d\) et \(c\) non nuls, on a :
\[(1)\; : \dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{c}{d}} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}\]
\[(2)\; : \dfrac{\dfrac{a}{b}}{c} = \dfrac{a}{b \times c}\]
\[(3)\; : \dfrac{a}{\dfrac{c}{d}} = \dfrac{a \times d}{c}\]
Exemple 3 :
\((1) : \dfrac{\dfrac{3}{4}}{\dfrac{5}{7}} = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{7}{5} = \dfrac{21}{20}\)\((2) : \dfrac{\dfrac{9}{7}}{5} = \dfrac{9}{5 \times 7} = \dfrac{9}{35}\)
\((3) : \dfrac{3}{\dfrac{10}{11}} = \dfrac{3 \times 11}{10} = \dfrac{33}{10}\)
4 – Addition et soustraction
Propriété 4 : Pour tous nombres réels \(a\), \(b\), \(c\) avec \(c\) non nul, on a :
\[(1)\; : \dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a + b}{c}\]
\[(2)\; : \dfrac{a}{c} - \dfrac{b}{c} = \dfrac{a - b}{c}\]
Exemple 4 :
\((1) : \dfrac{2}{7} + \dfrac{3}{7} = \dfrac{2 + 3}{7} = \dfrac{5}{7}\)\((2) : \dfrac{8}{9} - \dfrac{1}{9} = \dfrac{8 - 1}{9} = \dfrac{7}{9}\)
Remarque : Pour pouvoir additionner ou soustraire deux fractions il faut le même dénominateur. Si ce n'est pas le cas on commence par trouver un dénominateur commun.
Exemple 5 :
• \(\dfrac{3}{10} + \dfrac{7}{20} = \dfrac{2 \times 3}{2 \times 10} + \dfrac{7}{20} = \dfrac{6}{20} + \dfrac{7}{20} = \dfrac{13}{20}\)• \(2 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{3 \times 2}{3} - \dfrac{2}{3} = \dfrac{6}{3} - \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{3}\)
• \(\dfrac{4}{5} + \dfrac{2}{7} = \dfrac{4 \times 7}{5 \times 7} + \dfrac{2 \times 5}{7 \times 5} = \dfrac{28}{35} + \dfrac{10}{35} = \dfrac{38}{35}\)
• \(x - \dfrac{2}{x} = \dfrac{x \times x}{x} - \dfrac{2}{x} = \dfrac{x^2}{x} - \dfrac{2}{x} = \dfrac{x^2 - 2}{x}\) (avec \(x \neq 0\))
5 – Produit en croix
Propriété 5 : Pour tous nombres réels \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) avec \(b\) et \(d\) non nuls, on a :
\[\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \quad \text{si et seulement si} \quad a \times d = b \times c\]
Exemple 6 : À quel pourcentage correspond la fraction \(\dfrac{5}{16}\) ?
\(\dfrac{5}{16} = \dfrac{x}{100}\) est équivalent à \(16 \times x = 5 \times 100\) c'est-à-dire \(x = \dfrac{500}{16} = \dfrac{125}{4} = 31{,}25\).Donc \(\dfrac{5}{16}\) correspond à 31,25%.
