1 – Développement et Factorisation
Définition 1 :
• Développer un produit, c'est écrire ce produit sous la forme d'une somme.
• Factoriser une somme, c'est écrire cette somme sous la forme d'un produit.
• Développer un produit, c'est écrire ce produit sous la forme d'une somme.
• Factoriser une somme, c'est écrire cette somme sous la forme d'un produit.
Pour développer ou factoriser une expression algébrique, on utilise les propriétés de distributivité :
Propriété 1 : Pour tous nombres réels \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) et \(k\), on a
• Simple distributivité : \(k(a + b) = ka + kb\)
• Double distributivité : \((a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd\)
• Simple distributivité : \(k(a + b) = ka + kb\)
• Double distributivité : \((a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd\)
Simple distributivité
Double distributivité
Exemple 1 :
• \(2(5 + x)\) est un produit qui se développe en \(2 \times 5 + 2 \times x\) c'est-à-dire \(10 + 2x\).• \(x^2 + 3x\) est une somme qui se factorise en \(x(x + 3)\).
• \((2x + 1)(3 - x)\) est un double produit qui se développe en : \[\begin{aligned} &= 2x \times 3 + 2x \times (-x) + 1 \times 3 + 1 \times (-x) \\ &= 6x - 2x^2 + 3 - x \\ &= -2x^2 + 5x + 3 \end{aligned}\]
2 – Identités remarquables
Propriété 2 : Pour tous nombres réels \(a\), \(b\), on a :
• \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
• \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
• \((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\)
• \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
• \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
• \((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\)
Démonstration :
Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels. On a : \[\begin{aligned} (a + b)^2 &= (a + b)(a + b) \\ &= a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 \end{aligned}\] \[\begin{aligned} (a - b)^2 &= (a - b)(a - b) \\ &= a^2 - ab - ba + b^2 = a^2 - 2ab + b^2 \end{aligned}\] \[(a + b)(a - b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2 \quad \square\]Exemple 2 : Développer les expressions suivantes :
\[\begin{aligned}
A(x) &= (x + 3)^2 = x^2 + 2 \times 3 \times x + 3^2 \\
&= x^2 + 6x + 9
\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}
B(x) &= (5 - 2x)^2 = 5^2 - 2 \times 5 \times 2x + (2x)^2 \\
&= 25 - 20x + 4x^2
\end{aligned}\]
Exemple 3 : Factoriser les expressions suivantes :
• \(C(x) = x^2 - 81 = x^2 - 9^2 = (x + 9)(x - 9)\)• \(D(x) = 1 - 9x^2 = 1^2 - (3x)^2 = (1 + 3x)(1 - 3x)\)
Démonstration géométrique de la 1ère identité remarquable :
Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels positifs. On considère un carré de côté \((a+b)\) découpé en quatre parties.Calculons de 2 façons différentes l'aire totale du carré, en fonction de \(a\) et \(b\).
Carré de côté \((a+b)\) découpé en 4 parties
• Méthode 2 : \(\mathcal{A}_{totale} = \mathcal{A}_{carré\,bleu} + 2 \times \mathcal{A}_{rectangle\,rouge} + \mathcal{A}_{carré\,jaune} = a^2 + 2ab + b^2\)
On obtient l'égalité voulue : \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). □
