1 – Multiples et diviseurs
Définition 1 :
Soient \(a\) et \(b\) deux entiers. On dit que \(b\) est un multiple de \(a\) s'il existe un entier \(k\) tel que \(b = k \times a\).
On dit alors que \(a\) est un diviseur de \(b\) ou que \(a\) divise \(b\).
Soient \(a\) et \(b\) deux entiers. On dit que \(b\) est un multiple de \(a\) s'il existe un entier \(k\) tel que \(b = k \times a\).
On dit alors que \(a\) est un diviseur de \(b\) ou que \(a\) divise \(b\).
Exemple 1 :
• \(12\) est un multiple de \(3\) car \(12 = 4 \times 3\) (on a \(k = 4\)). \(3\) est donc un diviseur de \(12\).• \(5\) divise \(100\) car \(100 = 20 \times 5\) (on a \(k = 20\)). \(100\) est donc un multiple de \(5\).
Propriété 1 : La somme de deux multiples d'un entier \(a\) est un multiple de \(a\).
Exemple 2 :
\(15\) et \(35\) sont des multiples de \(5\) donc la somme \(15 + 35 = 50\) est aussi un multiple de \(5\).En effet, on a \(15 = 3 \times 5\) et \(35 = 7 \times 5\) ce qui donne \(50 = (3 + 7) \times 5 = 10 \times 5\).
Démonstration :
On considère un entier \(a\).• Soient \(b\) et \(c\) deux multiples de \(a\) : on peut alors écrire \(b = k \times a\) et \(c = k' \times a\) avec \(k\) et \(k'\) deux entiers.
• La somme de \(b\) et \(c\) peut alors s'écrire \(b + c = k \times a + k' \times a\).
• On factorise par \(a\) ce qui donne : \(b + c = (k + k') \times a\).
• On a donc \(b + c = K \times a\) avec \(K = k + k'\) ce qui prouve que \(b + c\) est un multiple de \(a\). □
Critères de divisibilité :
• Les multiples de \(2\) se terminent par les chiffres \(0\), \(2\), \(4\), \(6\) ou \(8\). Ex : \(28\) est un multiple de \(2\).
• La somme des chiffres d'un multiple de \(3\) est un multiple de \(3\). Ex : \(354\) est un multiple de \(3\).
• Les multiples de \(4\) sont deux fois divisibles par \(2\). Ex : \(284\) est un multiple de \(4\).
• Les multiples de \(5\) se terminent par les chiffres \(0\) ou \(5\). Ex : \(155\) est un multiple de \(5\).
• Les multiples de \(6\) sont divisibles par \(2\) et par \(3\). Ex : \(312\) est un multiple de \(6\).
• La somme des chiffres d'un multiple de \(9\) est un multiple de \(9\). Ex : \(963\) est un multiple de \(9\).
• Les multiples de \(10\) se terminent toujours par \(0\). Ex : \(510\) est un multiple de \(10\).
• Les multiples de \(2\) se terminent par les chiffres \(0\), \(2\), \(4\), \(6\) ou \(8\). Ex : \(28\) est un multiple de \(2\).
• La somme des chiffres d'un multiple de \(3\) est un multiple de \(3\). Ex : \(354\) est un multiple de \(3\).
• Les multiples de \(4\) sont deux fois divisibles par \(2\). Ex : \(284\) est un multiple de \(4\).
• Les multiples de \(5\) se terminent par les chiffres \(0\) ou \(5\). Ex : \(155\) est un multiple de \(5\).
• Les multiples de \(6\) sont divisibles par \(2\) et par \(3\). Ex : \(312\) est un multiple de \(6\).
• La somme des chiffres d'un multiple de \(9\) est un multiple de \(9\). Ex : \(963\) est un multiple de \(9\).
• Les multiples de \(10\) se terminent toujours par \(0\). Ex : \(510\) est un multiple de \(10\).
2 – Nombres pairs et impairs
Définition 2 : Soit \(n\) un entier. Il y a deux cas possibles :
• \(n\) est pair si c'est un multiple de \(2\). Il s'écrit alors sous la forme \(n = 2k\) avec \(k\) un entier.
• \(n\) est impair si ce n'est pas un multiple de \(2\). Il s'écrit alors sous la forme \(n = 2k + 1\) avec \(k\) un entier.
• \(n\) est pair si c'est un multiple de \(2\). Il s'écrit alors sous la forme \(n = 2k\) avec \(k\) un entier.
• \(n\) est impair si ce n'est pas un multiple de \(2\). Il s'écrit alors sous la forme \(n = 2k + 1\) avec \(k\) un entier.
Exemple 3 :
• \(122\) est un nombre pair. Il peut s'écrire sous la forme \(122 = 2 \times 61\).• \(91\) est un nombre impair. Il peut s'écrire sous la forme \(91 = 2 \times 45 + 1\).
Parité et addition
Parité et multiplication
Propriété 2 : Le carré d'un nombre impair est un nombre impair.
Exemple 4 :
\(7\) est un nombre impair donc \(7^2 = 49\) est aussi un nombre impair.
Démonstration :
On considère un entier impair \(n\).• On peut alors écrire \(n = 2k + 1\) avec \(k\) un nombre entier.
• À l'aide de l'identité remarquable \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), calculons le carré de \(n\) : \[n^2 = (2k + 1)^2 = (2k)^2 + 2 \times 2k \times 1 + 1^2 = 4k^2 + 4k + 1\] • Mais \(4k^2 + 4k\) est un multiple de \(2\) et on peut écrire : \(n^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1\).
• Donc \(n^2\) peut s'écrire sous la forme \(n^2 = 2K + 1\) avec \(K = 2k^2 + 2k\) ce qui prouve que \(n^2\) est impair. □
3 – Nombres premiers
Définition 3 : Un entier \(p\) est premier s'il admet exactement deux diviseurs distincts dans \(\mathbb{N}\) : \(1\) et lui-même.
Exemple 5 :
• \(0\) n'est pas premier car tout nombre \(a\) divise \(0\) : \(0 = 0 \times a\) ; \(1\) n'est pas premier car il n'a qu'un seul diviseur.• \(2 = 2 \times 1\) est premier car il a 2 diviseurs : \(1\) et \(2\). C'est le seul nombre premier pair.
• \(4 = 2 \times 2\) n'est pas premier car il possède \(3\) diviseurs : \(1\), \(2\) et \(4\).
Crible d'Ératosthène : Voici un algorithme qui permet de lister les nombres premiers jusqu'à \(100\).
Crible d'Ératosthène
• On barre \(1\) qui n'est pas premier.
• On entoure \(2\) qui est premier et on barre tous les multiples de \(2\).
• Même chose avec \(3\) qui est premier.
• Le chiffre \(4\) est déjà barré. Même chose avec \(5\) qui est premier.
• Le chiffre \(6\) est déjà barré. Même chose avec \(7\) qui est premier.
• Il n'y a plus de nombres premiers inférieur ou égaux à \(10\), et on a barré tous les multiples des nombres inférieurs ou égaux à \(10\).
• Il reste à barrer seulement les nombres \(n = p \times q\) avec \(p, q \geq 10\).
• Mais dans ce cas \(n \geq 10 \times 10 = 100\).
• On a donc trouvé tous les nombres premiers jusqu'à \(100\).
• On entoure \(2\) qui est premier et on barre tous les multiples de \(2\).
• Même chose avec \(3\) qui est premier.
• Le chiffre \(4\) est déjà barré. Même chose avec \(5\) qui est premier.
• Le chiffre \(6\) est déjà barré. Même chose avec \(7\) qui est premier.
• Il n'y a plus de nombres premiers inférieur ou égaux à \(10\), et on a barré tous les multiples des nombres inférieurs ou égaux à \(10\).
• Il reste à barrer seulement les nombres \(n = p \times q\) avec \(p, q \geq 10\).
• Mais dans ce cas \(n \geq 10 \times 10 = 100\).
• On a donc trouvé tous les nombres premiers jusqu'à \(100\).
Propriété 3 : Tout nombre entier \(p \geq 2\) est soit premier, soit décomposable en produit de facteurs premiers.
La décomposition obtenue est alors unique.
La décomposition obtenue est alors unique.
Exemple 6 :
• \(79\) est premier donc il n'est pas décomposable en produit de facteurs premiers.• \(360 = 36 \times 10 = (6 \times 6) \times (2 \times 5)\)
\(= (2 \times 3) \times (2 \times 3) \times 2 \times 5\)
\(= 2^3 \times 3^2 \times 5\).
