Exercices n°1 — Arithmétique

Recopier et compléter les phrases suivantes à l'aide des expressions « est un multiple de », « est un diviseur de », « divise », « est divisible ». Préciser toutes les possibilités.

1. \(34\) … \(17\)
2. \(9\) … \(18\)
3. \(12\) … \(144\)
4. \(125\) … \(25\)

Soit \(a\) un entier.
Écrire une expression mathématique commençant par « Il existe un entier \(k\) tel que … » correspondant aux affirmations suivantes :

1. \(a\) est un multiple de \(7\)
2. \(a\) est un diviseur de \(64\)
3. \(a\) est divisible par \(5\)
4. \(a\) divise \(80\)

Compléter le tableau suivant par Oui ou Non :

Parmi les nombres suivants, donner les multiples de \(5\), les multiples de \(6\) et les multiples de \(17\).
a. \(10\)
b. \(510\)
c. \(34\)
d. \(72\)
e. \(85\)
f. \(28\)
g. \(60\)
h. \(97\)

Déterminer tous les diviseurs de \(100\).

Une crèche dispose d'un lot de \(36\) dalles en mousse (les vingt-six lettres de l'alphabet plus les dix chiffres de \(0\) à \(9\)). Chaque dalle mesure \(30\,cm \times 30\,cm\). L'assistante maternelle souhaite les disposer de manière à former un rectangle.

1. Quels sont les différentes possibilités pour ce rectangle ?
2. Elle souhaite les disposer de façon à ce que le périmètre soit le plus petit possible. Quel sera alors le périmètre de ce rectangle ?

Dans chaque cas, donner tous les diviseurs communs à \(a\) et \(b\), puis en déduire le plus grand diviseur commun de ces deux nombres (noté \(\text{PGCD}(a, b)\)).

1. \(a = 15\) et \(b = 35\)
2. \(a = 60\) et \(b = 40\)
3. \(a = 45\) et \(b = 64\)
4. \(a = 270\) et \(b = 180\)

On considère les nombres \(a = 24\) et \(b = 18\).

1. Donner un multiple de \(a\) et un multiple de \(b\).
2. Donner un nombre qui est multiple simultanément de \(a\) et de \(b\).
3. Parmi tous les multiples communs à \(a\) et \(b\), quel est le plus petit (noté \(\text{PPCM}(a, b)\)) ?

Démontrer les propositions suivantes :
Proposition 1 : La somme de deux nombres impairs est un nombre pair.
Proposition 2 : Un entier et son carré possèdent la même parité.
Proposition 3 : La somme de trois entiers consécutifs est un multiple de 3.

Soit \(n\) un nombre entier.

1. Calculer \((n + 1)^2 - n^2\).
2. Quelle est la parité du résultat obtenu ?
3. En déduire que tout nombre impair peut s'écrire comme la différence des carrés de deux entiers naturels consécutifs.
4. Écrire \(5\), \(13\) et \(21\) sous forme d'une différence de carrés de deux entiers naturels consécutifs.

Les nombres suivants sont-ils premiers ?
\(152\) ; \(29\) ; \(11\) ; \(9921\) ; \(14004\) ; \(15\) ; \(99\) ; \(17\) ; \(1\) ; \(0\)

Trouver les diviseurs premiers des nombres :

1. \(21\)
2. \(56\)
3. \(256\)
4. \(301\)

Décomposer en produit de facteurs premiers :
\(18\) ; \(24\) ; \(30\) ; \(42\) ; \(49\) ; \(196\) ; \(252\) ; \(455\) ; \(546\) ; \(19\)

La conjecture de Goldbach affirme que « tout nombre pair supérieur ou égal à \(4\) est la somme de deux nombres premiers ».

1. Vérifier cette conjecture pour tous les nombres pairs de l'intervalle \([10\,; 20]\).
2. Trouver tous les nombres premiers \(p\) et \(p'\) tels que \(100 = p + p'\).