Exercice 1 : Symboles

Recopier et compléter les pointillés à l'aide des symboles \(\in\), \(\notin\), \(\subset\) ou \(\not\subset\) :

Exercice d'appartenance et d'inclusion à compléter avec les symboles ∈, ∉, ⊂, ⊄

Exercice 2 : Tableau

1) Compléter le tableau suivant dans lequel une croix indique que le nombre appartient à l'ensemble.
2) En déduire la nature de chaque nombre.

Exercice 3 : Affirmations

Reformuler chacune des affirmations suivantes en langage mathématique, puis indiquer si elles sont vraies ou fausses.

\(-\dfrac{7}{3}\) est un nombre rationnel
\(-\dfrac{5{,}7}{3{,}4}\) est un nombre décimal
\(0{,}45\) est un nombre réel
\(-10^5\) est un entier relatif
\(10^{-5}\) est un entier relatif
Les nombres décimaux sont rationnels
\(\dfrac{20}{4}\) est un entier naturel
\(0{,}33\) est un nombre décimal mais \(\dfrac{1}{3}\) ne l'est pas
\(\dfrac{\pi}{2}\) est un nombre irrationnel
\(\sqrt{-1}\) est un nombre réel
Si \(x\) est un nombre rationnel alors \(x^2\) aussi

Exercice 4 : Rationnel ou irrationnel ?

Dans chacun des cas, expliquer pourquoi le nombre n'est pas irrationnel. Préciser alors sa nature.

\((3 + \sqrt{2})(3 - \sqrt{2})\)
\(\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2\)
\((\sqrt{8} - \sqrt{2})^2\)

Exercice 5 : Pi et calculatrice

Commenter l'écran de calculatrice ci-dessous.

Calcul sur calculatrice : π ≈ 1980127 ÷ 630294

Exercice 6 : Arrondi et encadrement de Pi

Donner un encadrement à \(10^{-5}\) près du nombre \(\pi\).
Donner un arrondi de \(\pi\) au centième près.

Exercice 7 : Histoire des approximations de pi

1) Au III^ème siècle avant notre ère, Archimède a prouvé les inégalités strictes \(\dfrac{223}{71} < \pi < \dfrac{22}{7}\) à l'aide d'un \(96\)-gône. Déterminer l'amplitude de cet encadrement.

Polygones inscrits et circonscrits dans un cercle, méthode d'Archimède pour approcher pi

Méthode d'Archimède : on calcule le périmètre des deux polygones qui encadrent un cercle de rayon \(r = \frac{1}{2}\) pour avoir une approximation de \(\pi\).

2) Le mathématicien chinois Zu Chongzhi (\(429 - 500\)) a donné l'approximation \(\pi \approx \dfrac{355}{113}\) qui restera la plus juste pendant près d'un millénaire. Déterminer la précision de cet arrondi.

3) Léonard Euler démontre en 1741 que la somme infinie des inverses des carrés vaut le sixième du carré de pi : \(\dfrac{1}{1^2} + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2} + \ldots = \dfrac{\pi^2}{6}\). En calculant la somme des inverses des 10 premiers carrés, donner une approximation du nombre \(\pi\).

Exercice 8 : 1 = 0,999...

Soit \(x = 0{,}\overline{9} = 0{,}999\ldots\)

Justifier l'égalité suivante : \(10x = 9 + x\)
Résoudre l'équation précédente.
Que peut-on en conclure ?

Exercices n°2 — Les différents types de nombres