1 – Nombres entiers
Définition 1 :
• Les entiers naturels sont les entiers positifs ou nul. L'ensemble des entiers naturels est noté \(\mathbb{N}\).
• Les entiers relatifs sont les entiers positifs, négatifs ou nul. L'ensemble des entiers relatifs est noté \(\mathbb{Z}\).
• Les entiers naturels sont les entiers positifs ou nul. L'ensemble des entiers naturels est noté \(\mathbb{N}\).
• Les entiers relatifs sont les entiers positifs, négatifs ou nul. L'ensemble des entiers relatifs est noté \(\mathbb{Z}\).
Remarques :
• On utilise les symboles \(\in\) (qui signifie appartient à) et \(\notin\) (qui signifie n'appartient pas à) pour dire si un élément est dans un ensemble. On a par exemple : \(25 \in \mathbb{N}\) et \(25 \in \mathbb{Z}\) ; \(-4 \in \mathbb{Z}\) mais \(-4 \notin \mathbb{N}\).
• Pour énumérer les éléments d'un ensemble on utilise les accolades : \(\mathbb{N} = \{0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; \ldots\}\) et \(\mathbb{Z} = \{\ldots ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; \ldots\}\)
• Tous les éléments de \(\mathbb{N}\) sont aussi dans \(\mathbb{Z}\). Dans ce cas on dit que l'ensemble \(\mathbb{N}\) est inclus dans l'ensemble \(\mathbb{Z}\) et on note \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}\).
• On utilise les symboles \(\in\) (qui signifie appartient à) et \(\notin\) (qui signifie n'appartient pas à) pour dire si un élément est dans un ensemble. On a par exemple : \(25 \in \mathbb{N}\) et \(25 \in \mathbb{Z}\) ; \(-4 \in \mathbb{Z}\) mais \(-4 \notin \mathbb{N}\).
• Pour énumérer les éléments d'un ensemble on utilise les accolades : \(\mathbb{N} = \{0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; \ldots\}\) et \(\mathbb{Z} = \{\ldots ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; \ldots\}\)
• Tous les éléments de \(\mathbb{N}\) sont aussi dans \(\mathbb{Z}\). Dans ce cas on dit que l'ensemble \(\mathbb{N}\) est inclus dans l'ensemble \(\mathbb{Z}\) et on note \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}\).
Ensemble \(\mathbb{N}\)
Ensemble \(\mathbb{Z}\)
2 – Nombres décimaux
Les nombres décimaux sont les nombres à virgule, avec un nombre fini de décimales :
Définition 2 : Un nombre \(x\) est décimal s'il peut s'écrire sous la forme \(x = \dfrac{a}{10^n}\) avec \(a \in \mathbb{Z}\) et \(n \in \mathbb{N}\).
L'ensemble des nombres décimaux est noté \(\mathbb{D}\).
L'ensemble des nombres décimaux est noté \(\mathbb{D}\).
Exemple 1 :
• \(-2{,}531\) est un nombre décimal : \(-2{,}531 = \dfrac{-2531}{1000} = \dfrac{-2531}{10^3}\)• \(\dfrac{4}{25}\) est un nombre décimal : \(\dfrac{4}{25} = \dfrac{4 \times 4}{25 \times 4} = \dfrac{16}{100} = \dfrac{16}{10^2}\)
• Les nombres entiers sont des nombres décimaux, on a donc \(\mathbb{Z} \subset \mathbb{D}\). Par exemple : \(2 = \dfrac{2}{1} = \dfrac{2}{10^0}\)
Propriété 1 : Le nombre \(\dfrac{1}{3}\) n'est pas décimal.
Démonstration :
Par l'absurde : supposons que \(\dfrac{1}{3} \in \mathbb{D}\).• On peut alors écrire ce nombre sous la forme \(\dfrac{1}{3} = \dfrac{a}{10^n}\) avec \(a \in \mathbb{Z}\) et \(n \in \mathbb{N}\).
• Le produit en croix permet d'écrire l'égalité suivante : \(1 \times 10^n = 3 \times a\), c'est-à-dire \(10^n = 3 \times a\).
• Cela signifie que \(10^n\) est un multiple de \(3\), ou autrement dit que \(3\) est un diviseur de \(10^n\).
• Mais cela est impossible, car la décomposition en produit de nombres premiers de \(10^n\) donne : \(10^n = (2 \times 5)^n = 2^n \times 5^n\), donc les seuls diviseurs premiers de \(10^n\) sont \(2\) et \(5\).
• L'hypothèse de départ est donc fausse, donc \(\dfrac{1}{3} \notin \mathbb{D}\). □
3 – Nombres rationnels
Les nombres rationnels sont les nombres qui peuvent s'écrire sous forme d'une fraction de deux entiers :
Définition 3 : Un nombre \(x\) est rationnel s'il peut s'écrire sous la forme \(x = \dfrac{p}{q}\) avec \(p, q \in \mathbb{Z}\) tel que \(q \neq 0\).
L'ensemble des nombres rationnels est noté \(\mathbb{Q}\).
L'ensemble des nombres rationnels est noté \(\mathbb{Q}\).
Exemple 2 :
Les nombres suivants sont des rationnels dont il est utile de connaître la valeur décimale :• \(\dfrac{1}{2} = 0{,}5\)
• \(\dfrac{1}{3} = 0{,}333\ldots\)
• \(\dfrac{1}{4} = 0{,}25\)
• \(\dfrac{1}{5} = 0{,}2\)
• \(\dfrac{1}{6} = 0{,}166\ldots\)
• \(\dfrac{1}{10} = 0{,}1\)
• \(\dfrac{2}{3} = 0{,}666\ldots\)
• \(\dfrac{3}{4} = 0{,}75\)
• \(\dfrac{3}{2} = 1{,}5\)
• \(\dfrac{4}{3} = 1{,}333\ldots\)
Remarques :
• Les nombres décimaux sont des nombres rationnels, on a donc \(\mathbb{D} \subset \mathbb{Q}\).
• Les nombres rationnels sont périodiques : à partir d'une certaine décimale, la suite des chiffres se répète indéfiniment. Par exemple : \(\dfrac{3}{14} = 0{,}2\overline{142857}\ldots\)
• On peut toujours écrire un nombre rationnel sous forme de fraction irréductible \(x = \dfrac{p}{q}\), c'est-à-dire tel que \(p\) et \(q\) soient premiers entre eux (sans diviseurs en commun). Par exemple : \(\dfrac{49}{84} = \dfrac{7^2}{2^2 \times 3 \times 7}\)
\(= \dfrac{7}{2^2 \times 3} = \dfrac{7}{12}\).
• Les nombres décimaux sont des nombres rationnels, on a donc \(\mathbb{D} \subset \mathbb{Q}\).
• Les nombres rationnels sont périodiques : à partir d'une certaine décimale, la suite des chiffres se répète indéfiniment. Par exemple : \(\dfrac{3}{14} = 0{,}2\overline{142857}\ldots\)
• On peut toujours écrire un nombre rationnel sous forme de fraction irréductible \(x = \dfrac{p}{q}\), c'est-à-dire tel que \(p\) et \(q\) soient premiers entre eux (sans diviseurs en commun). Par exemple : \(\dfrac{49}{84} = \dfrac{7^2}{2^2 \times 3 \times 7}\)
\(= \dfrac{7}{2^2 \times 3} = \dfrac{7}{12}\).
4 – Nombres réels
Tous les nombres ne sont pas rationnels. Certains nombres ne peuvent pas s'écrire sous forme de fraction :
Propriété 2 : Le nombre \(\sqrt{2}\) n'est pas rationnel.
Démonstration :
Par l'absurde : supposons que \(\sqrt{2} \in \mathbb{Q}\).• On peut alors écrire ce nombre sous la forme \(\sqrt{2} = \dfrac{p}{q}\) avec \(p\) et \(q\) deux nombres entiers tel que \(q \neq 0\).
• On peut supposer que la fraction est irréductible et donc que \(p\) et \(q\) n'ont pas de diviseurs en commun.
• En élevant l'égalité précédente au carré, on obtient : \((\sqrt{2})^2 = \left(\dfrac{p}{q}\right)^2\), c'est-à-dire \(2 = \dfrac{p^2}{q^2}\).
• Le produit en croix permet d'écrire que \(p^2 = 2 \times q^2\), ce qui prouve que \(p^2\) est un nombre pair.
• On en déduit que \(p\) est aussi un nombre pair, car si \(p\) était impair, \(p^2\) le serait aussi (le carré d'un nombre impair est impair), ce qui est impossible. On peut donc écrire \(p = 2k\) avec \(k\) un nombre entier.
• L'égalité \(p^2 = 2q^2\) peut s'écrire \((2k)^2 = 2q^2\), puis \(4k^2 = 2q^2\), puis \(2k^2 = q^2\) (en divisant par \(2\)).
• Ainsi, on en déduit que \(q^2\) est pair et donc que \(q\) est pair (via le même raisonnement que pour \(p\)).
• On a donc montré que \(p\) et \(q\) sont pairs, ce qui est impossible car la fraction était supposée irréductible.
• L'hypothèse de départ est donc fausse : \(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\). □
Remarques :
• Beaucoup de nombres ne sont pas rationnels : \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\pi\), etc. On dit qu'ils sont irrationnels.
• Les nombres irrationnels ne sont pas périodiques : \(\pi = 3{,}14159265359\ldots\) ; \(\sqrt{2} = 1{,}41421356237\ldots\)
• Tout nombre réel peut être encadré à \(10^{-n}\) près par 2 nombres décimaux.
Ex : Encadrement de \(\pi\) à \(10^{-4}\) près : \(3{,}1415 \leq \pi < 3{,}1416\).
• Beaucoup de nombres ne sont pas rationnels : \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\pi\), etc. On dit qu'ils sont irrationnels.
• Les nombres irrationnels ne sont pas périodiques : \(\pi = 3{,}14159265359\ldots\) ; \(\sqrt{2} = 1{,}41421356237\ldots\)
• Tout nombre réel peut être encadré à \(10^{-n}\) près par 2 nombres décimaux.
Ex : Encadrement de \(\pi\) à \(10^{-4}\) près : \(3{,}1415 \leq \pi < 3{,}1416\).
Définition 4 : L'ensemble des nombres réels noté \(\mathbb{R}\) contient tous les nombres rationnels et irrationnels.
Annexe
Dans les 2 figures ci-dessous, on a placé les nombres suivants :
\(0\) ; \(-1\) ; \(0{,}3\) ; \(\dfrac{3}{2}\) ; \(\dfrac{1}{3}\) ; \(\pi\) ; \(\sqrt{2}\) ; \(\dfrac{4}{7}\) ; \(-\dfrac{2}{5}\) ; \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) ; \(10^{10}\) ; \(10^{-1}\) ; \(-10^2\) ; \(\dfrac{4}{2}\) ; \(\sqrt{9}\) ; \(-\dfrac{1}{6}\)
\(0\) ; \(-1\) ; \(0{,}3\) ; \(\dfrac{3}{2}\) ; \(\dfrac{1}{3}\) ; \(\pi\) ; \(\sqrt{2}\) ; \(\dfrac{4}{7}\) ; \(-\dfrac{2}{5}\) ; \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) ; \(10^{10}\) ; \(10^{-1}\) ; \(-10^2\) ; \(\dfrac{4}{2}\) ; \(\sqrt{9}\) ; \(-\dfrac{1}{6}\)
Figure 1 : Relation entre les ensembles
Chaque nombre réel peut être classé dans un des ensembles de nombres.
Chaque nombre réel peut être classé dans un des ensembles de nombres.
Relation d'inclusion : \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\)
Figure 2 : La droite numérique
• L'ensemble des nombres réels peut être représenté par une droite graduée : à chaque point de la droite correspond un unique nombre réel.
• La droite s'étend de l'infini négatif (\(-\infty\)) à l'infini positif (\(+\infty\)).
• L'ensemble des nombres réels peut être représenté par une droite graduée : à chaque point de la droite correspond un unique nombre réel.
• La droite s'étend de l'infini négatif (\(-\infty\)) à l'infini positif (\(+\infty\)).
La droite numérique
