1 – La notion d'intervalle

Définition 1 : Un intervalle est une partie de la droite numérique en « un seul morceau ».

Exemple 1 :

Droite réelle avec l'intervalle [-1;2] hachuré

Ceci est un intervalle : c'est l'ensemble des nombres compris entre \(-1\) et \(2\). Il est noté \([-1\,;2]\).

Droite réelle avec la réunion [-2;-1] ∪ [1;3]

Ceci n'est pas un intervalle. La partie comporte « plusieurs morceaux ».

Les intervalles bornés :

Intervalles bornés

Les intervalles non bornés :

Intervalles non bornés

Exemple 2 : Quelques exemples d'intervalles

Intervalle	Ensemble des réels \(x\) tel que	Représentation graphique
\([-3\,;2]\)	\(-3 \leq x \leq 2\)
\([-1\,;+\infty[\)	\(x \geq -1\)
\(]-2\,;5]\)	\(-2 < x \leq 5\)
\(]-\infty\,;2[\)	\(x < 2\)

2 – Intersection, Réunion d'intervalles

Définition 2 : Soit \(I\) et \(J\) deux intervalles.
• L'intersection de \(I\) et \(J\), notée \(I \cap J\), est l'ensemble des nombres réels qui sont à la fois dans \(I\) et dans \(J\).
• La réunion de \(I\) et \(J\), notée \(I \cup J\), est l'ensemble des nombres réels qui sont dans \(I\) ou dans \(J\).

Exemple 3 :

Soit \(I = [-1\,;1]\) et \(J = [0\,;2]\).

Intersection : \(I \cap J = [0\,;1]\)

Réunion : \(I \cup J = [-1\,;2]\)

Remarque : La réunion de deux intervalles n'est pas toujours un intervalle.

3 – Distance entre deux réels & Intervalle centré en \(a\)

Définition 3 : La valeur absolue d'un réel \(x\), notée \(|x|\), est le nombre positif défini par : \[|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}\]

Remarque : La valeur absolue d'un nombre correspond à sa partie numérique sans le signe.

Exemple 4 :

\(|5| = 5\) ; \(|-1{,}25| = -(-1{,}25) = 1{,}25\).

Propriété 1 : La distance entre deux réels \(a\) et \(b\) placés sur la droite numérique est égale à \(|b - a|\).

Exemple 5 :

• Distance entre \(3\) et \(5\) : \(|5 - 3| = 2\)

Droite numérique montrant la distance entre 3 et 5

• Distance entre \(4\) et \(-3\) : \(|-3 - 4| = |-7| = 7\)

Droite numérique montrant la distance entre -3 et 4

Remarque :
• Si \(a \leq b\) alors \(b - a \geq 0\) et donc on a \(|b - a| = b - a\).
• Si \(a > b\) alors \(b - a < 0\) et donc \(|b - a| = -(b - a) = -b + a = a - b\).

Propriété 2 : L'intervalle \([a - r\,; a + r]\) est l'ensemble des réels \(x\) tels que \(|x - a| \leq r\).

Remarques :
• L'intervalle \([a - r\,; a + r]\) contient tous les réels qui sont situés à une distance du réel \(a\) inférieure à \(r\).
• On dit que l'intervalle \([a - r\,; a + r]\) est centré en \(a\) et de rayon \(r\).

Intervalle centré en \(a\) de rayon \(r\)

Exemple 6 :

Déterminer l'ensemble des réels \(x\) tel que \(|x - 2| \leq 3\).
Il s'agit de l'ensemble des nombres réels situés à une distance du réel \(a = 2\) inférieure à \(r = 3\).
C'est donc l'intervalle \(I = [2 - 3\,; 2 + 3] = [-1\,; 5]\).

Exemple d'intervalle centré : [-1;5] avec centre 2 et rayon 3

Intervalle \([-1\,;5]\) centré en \(2\) de rayon \(3\)

Cours n°3 — Intervalles

1 – La notion d'intervalle

2 – Intersection, Réunion d'intervalles

3 – Distance entre deux réels & Intervalle centré en \(a\)