Exercices n°3 — Intervalles

Représenter sur la droite graduée l'ensemble des réels \(x\) vérifiant les inégalités suivantes, puis écrire cet ensemble à l'aide d'un intervalle :

\(-1 \leq x \leq 2\)
\(-3 \leq x < 1\)
\(x \leq 0\)
\(x > -2\)

Traduire l'appartenance à l'intervalle \(I\) à l'aide d'une inégalité :
a. \(I = [0\,; 2{,}5]\)
b. \(I = ]-10\,; 9[\)
c. \(I = ]-\infty\,; -0{,}5]\)
d. \(I = ]0\,; +\infty[\)
e. \(I = ]-2\,; 0]\)

Compléter à l'aide des symboles \(\in\) ou \(\notin\) :
a. \(-1 \ldots [-1\,; 2]\)
b. \(-\dfrac{2}{3} \ldots \;]-\infty\,; -1[\)
c. \(5{,}9 \ldots \;]5{,}8\,; +\infty[\)
d. \(7 \ldots [0\,; 7[\)

Répondre aux questions suivantes du code de la route en utilisant un intervalle :

1. À quelle vitesse peut-on rouler en agglomération ?
2. À quelle vitesse a-t-on le droit de rouler sur autoroute pour doubler une voiture qui roule à \(110\) km/h ?
3. À quel taux d'alcoolémie est-on considéré en infraction routière ?

Compléter à l'aide des symboles \(\in\) ou \(\notin\) :
a. \(3 \ldots [-1\,; 2] \cup [10\,; +\infty[\)
b. \(5 \ldots \;]0\,; 5[ \cup [1\,; 20]\)
c. \(1 \ldots \;]-\infty\,; 0] \cap [0\,; +\infty[\)
d. \(1 \ldots \;]0\,; 1] \cap [1\,; 2]\)

Dans chacun des cas, représenter sur un axe gradué les ensembles \(I \cap J\) et \(I \cup J\), puis écrire si possible ces ensembles sous forme d'intervalles.

1. \(I = [-3\,; 2]\) et \(J = ]0\,; 5]\)
2. \(I = [-1\,; 0[\) et \(J = ]-2\,; 2]\)
3. \(I = [0{,}5\,; 3]\) et \(J = [-2\,; 0]\)
4. \(I = [1\,; 2{,}5[\) et \(J = ]-2\,; 1]\)

Compléter les pointillés par le symbole \(=\) ou \(\neq\) :
1. \(|4| \ldots 4\)
2. \(|-4| \ldots 4\)
3. \(|4| \ldots -4\)
4. \(|-4| \ldots -4\)
5. \(|4| \ldots -1\)
6. \(|3 - 4| \ldots 1\)
7. \(|4 - 3| \ldots 1\)
8. \(|4 - 3| \ldots -1\)

Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
1. La distance entre \(3\) et \(5\) est \(2\).
2. La distance entre \(-2\) et \(3\) est \(5\).
3. La distance entre \(-5{,}5\) et \(-5\) est \(-0{,}5\).
4. La distance entre \(-3{,}5\) et \(1\) est \(4{,}5\).

Traduire les inégalités ou les encadrements suivants à l'aide d'un intervalle.
1. \(-2 \leq x < 4\)
2. \(x > 3\)
3. \(x \leq -4\)
4. \(3 < x \leq 7\)
5. \(-2{,}1 \leq x \leq 4\)
6. \(x \geq 6\)
7. \(|x - 4| \leq 0{,}1\)
8. \(|x + 9| \leq 0{,}01\)

Reproduire et compléter le tableau en suivant l'exemple de la première ligne.

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes :
1. \(|x - 1| = 3\)
2. \(|x + 2| = 6\)
3. \(\left|x - \dfrac{3}{4}\right| = \dfrac{1}{6}\)
4. \(|x + 4| = -2\)

Compléter par le symbole \(\subset\) ou \(\not\subset\) :
1. \(]1\,; 2[ \ldots [1\,; 2]\)
2. \(]4\,; 5{,}3] \ldots [3{,}9\,; 5{,}4]\)
3. \([-5\,; 4[ \ldots [-5{,}1\,; 4[\)
4. \([-10\,; 10] \ldots \mathbb{R}\)
5. \([2\,; 10] \ldots \mathbb{N}\)
6. \([3{,}4\,; 5{,}7] \ldots \mathbb{D}\)