1 – Densité et Fonction de Répartition
Définition 1 :
On dit qu'une variable aléatoire \(X\) suit la loi uniforme sur l'intervalle \(I = [a;b]\), et on note \(X \sim \mathcal{U}(a;b)\), si \(X\) admet pour densité la fonction constante \(f(t) = \dfrac{1}{b - a}\) sur \(I\) et nulle ailleurs.
On dit qu'une variable aléatoire \(X\) suit la loi uniforme sur l'intervalle \(I = [a;b]\), et on note \(X \sim \mathcal{U}(a;b)\), si \(X\) admet pour densité la fonction constante \(f(t) = \dfrac{1}{b - a}\) sur \(I\) et nulle ailleurs.
Remarque : La loi uniforme permet de modéliser une situation d'équiprobabilité dans le cas continu : les valeurs de \(X\) sont réparties de manière uniforme sur l'intervalle \([a;b]\).
Exemple 1 :
Si \(X\) suit la loi uniforme \(\mathcal{U}(0;10)\) alors sa densité est \(f(t) = \dfrac{1}{10 - 0} = \dfrac{1}{10}\).
Propriété 1 :
![Densité et fonction de répartition de la loi uniforme sur [a;b]](/static/zmaths/images/cours/tmc-p2-2-01.png)
Si \(X\) suit la loi uniforme sur \(I = [a;b]\), alors :
- La fonction de répartition de \(X\) est la fonction : \[F(x) = \left\{ \begin{array}{l} 0 \quad \text{si } x \leq a \\ \dfrac{x - a}{b - a} \quad \text{si } a \leq x \leq b \\ 1 \quad \text{si } x \geq b \end{array} \right.\]
- Pour tous nombres réels \(c\) et \(d\) de \(I\) tels que \(c \leq d\), on a : \[P(c \leq X \leq d) = \dfrac{d - c}{b - a}\]
Démonstration
Si \(X \sim \mathcal{U}(a;b)\) alors \(F(x) = \dfrac{x - a}{b - a}\) est une primitive de la densité \(f\). On a donc : \(P(c \leq X \leq d) = \int_{c}^{d} \dfrac{1}{b - a}\ dt\)\(= \left[F(x)\right]_{c}^{d} = \dfrac{1}{b - a}d - \dfrac{1}{b - a}c = \dfrac{d - c}{b - a}\)
Exemple 1 (Suite) :
Si \(X\) suit la loi uniforme \(\mathcal{U}(0;10)\) alors \(P(2 \leq X \leq 8) = \dfrac{8 - 2}{10 - 0} = \dfrac{6}{10}\)
Exemple 2 :
A l'arret de bus de la gare, un bus passe toutes les \(20\) minutes. Un voyageur ignore les horaires et arrive à cet arrêt de bus. On note \(T\) la variable aléatoire représentant le temps d'attente, en minutes.
On suppose que \(T\) suit la loi uniforme \(T \sim \mathcal{U}(0;20)\). Quelle est la probabilité d'attendre le bus exactement 5 minutes ? entre 5 et 10 minutes ? plus de \(10\) minutes ?La densité de la variable \(T\) est la fonction \(f(t) = \dfrac{1}{20 - 0} = \dfrac{1}{20}\).
- \(P(T = 5) = \displaystyle\int_{5}^{5} f(t)\,dt = 0\)
- \(P(5 \leq T \leq 10) = \dfrac{10 - 5}{20 - 0} = \dfrac{5}{20} = 0{,}25\)
- \(P(T \geq 10) = \displaystyle\int_{10}^{20} f(t)\,dt\)
\(= \dfrac{20 - 10}{20 - 0} = \dfrac{1}{2}\)
2 – Paramètres de la loi Uniforme
Propriété 2 :
Si \(X \sim \mathcal{U}(a;b)\) alors \(E(X) = \dfrac{a + b}{2}\) et \(V(X) = \dfrac{(b - a)^{2}}{12}\)
Si \(X \sim \mathcal{U}(a;b)\) alors \(E(X) = \dfrac{a + b}{2}\) et \(V(X) = \dfrac{(b - a)^{2}}{12}\)
Exemple 3 :
Calculer l'espérance, la variance et l'écart-type de la variable \(T\) de l'exemple précédent.
- \(E(T) = \dfrac{0 + 20}{2} = 10\). Le temps moyen d'attente sera de \(10\) min.
- \(V(T) = \dfrac{(20 - 0)^{2}}{12} = \dfrac{400}{12} = 33{,}33\ldots\)
et \(\sigma(T) = \sqrt{33{,}33\ldots} \approx 5{,}77\)
