1 – Polynômes à coefficients complexes
Définition 1 : Soit \(n \in \mathbb{N}\). Un polynôme de degré \(n\) à coefficients complexes est une fonction \(P\) définie sur \(\mathbb{C}\) par
\[P(z) = a_{n}z^{n} + a_{n - 1}z^{n - 1} + \cdots + a_{1}z + a_{0}\]
où \(a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n}\) sont des nombres complexes avec \(a_{n} \neq 0\).
Remarques : On admet qu'un polynôme est nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls.
Aussi, deux polynômes égaux ont les mêmes coefficients : c'est le principe d'identification des coefficients.
Aussi, deux polynômes égaux ont les mêmes coefficients : c'est le principe d'identification des coefficients.
Exemple 1 :
\(P(z) = z^{4} - (3 + 2i)z^{2} + 4iz - 1\) est un polynôme de degré \(4\). On note \(\deg(P) = 4\).
Définition 2 : Un nombre complexe \(\alpha\) est une racine de \(P\) si \(P(\alpha) = 0\).
Exemple 2 :
Soit \(P(z) = z^{3} - 3z^{2} + 4z - 2\). Vérifier que \(1\) et \(1 + i\) sont des racines de \(P\).
• \(P(1) = 1 - 3 + 4 - 2 = 0\) : \(1\) est racine de \(P\).
• \((1 + i)^{2} = 2i\) et \((1 + i)^{3} = 2i(1 + i) = 2i + 2i^{2} = -2 + 2i\), donc : \[\begin{aligned} P(1 + i) &= (-2 + 2i) - 3 \times 2i + 4(1 + i) - 2 \\ &= -2 + 2i - 6i + 4 + 4i - 2 = 0 \end{aligned}\] \(1 + i\) est racine de \(P\).
2 – Factorisation par \(z - \alpha\)
Propriété 1 : Pour tout entier \(n \geq 1\) et tous nombres complexes \(z\) et \(\alpha\) :
\[\begin{aligned}
z^{n} - \alpha^{n} = (z - \alpha)\big( z^{n - 1} &+ \alpha z^{n - 2} + \alpha^{2}z^{n - 3} + \cdots \\
&+ \alpha^{n - 2}z + \alpha^{n - 1} \big)
\end{aligned}\]
Démonstration
Notons \(S(z) = z^{n - 1} + \alpha z^{n - 2} + \cdots + \alpha^{n - 1}\) et développons \((z - \alpha)S(z) = z \times S(z) - \alpha \times S(z)\) : \[\begin{aligned} z \times S(z) &= z^{n} + \alpha z^{n - 1} + \alpha^{2}z^{n - 2} + \cdots + \alpha^{n - 1}z \\ \alpha \times S(z) &= \alpha z^{n - 1} + \alpha^{2}z^{n - 2} + \cdots + \alpha^{n - 1}z + \alpha^{n} \end{aligned}\] (dans la première ligne on incrémente les puissances de \(z\), dans la seconde celles de \(\alpha\).)Les termes \(\alpha z^{n - 1}\), \(\alpha^{2}z^{n - 2}\), …, \(\alpha^{n - 1}z\) figurent dans les deux lignes et se simplifient dans la différence : il ne reste que \(z^{n}\) (premier terme de la première ligne) et \(-\alpha^{n}\) (dernier terme de la seconde). □
Exemples :
• \(z^{2} - \alpha^{2} = (z - \alpha)(z + \alpha)\) ;
• \(z^{3} - \alpha^{3} = (z - \alpha)(z^{2} + \alpha z + \alpha^{2})\) ;
• \(z^{3} - 1 = (z - 1)(z^{2} + z + 1)\).
Théorème 1 (factorisation par une racine) : Soit \(P\) un polynôme de degré \(n \geq 1\) et \(\alpha \in \mathbb{C}\). Si \(\alpha\) est une racine de \(P\), alors il existe un polynôme \(Q\) de degré \(n - 1\) tel que, pour tout \(z \in \mathbb{C}\) :
\[P(z) = (z - \alpha)Q(z)\]
Démonstration
• Les termes constants \(a_{0}\) se simplifient : \[\begin{aligned} P(z) - P(\alpha) = a_{n}\left( z^{n} - \alpha^{n} \right) &+ \cdots + a_{2}\left( z^{2} - \alpha^{2} \right) \\ &+ a_{1}(z - \alpha) \end{aligned}\] • D'après la propriété 1, chaque \(z^{k} - \alpha^{k}\) s'écrit \((z - \alpha)S_{k}(z)\) avec \(S_{k}(z) = z^{k - 1} + \alpha z^{k - 2} + \cdots + \alpha^{k - 1}\) de degré \(k - 1\). Le facteur \(z - \alpha\) est commun à tous les termes : \[\begin{aligned} P(z) - P(\alpha) &= (z - \alpha)\left[ a_{n}S_{n}(z) + \cdots + a_{1}S_{1}(z) \right] \\ &= (z - \alpha)Q(z) \end{aligned}\] • \(Q\) est de degré \(n - 1\) : son terme de plus haut degré est \(a_{n}z^{n - 1}\) (issu de \(a_{n}S_{n}(z)\)) et \(a_{n} \neq 0\).Si \(\alpha\) est racine de \(P\), \(P(\alpha) = 0\) et il reste \(P(z) = (z - \alpha)Q(z)\). □
3 – Polynôme de degré \(n\)
Théorème 2 : Un polynôme de degré \(n \geq 1\) admet au plus \(n\) racines dans \(\mathbb{C}\).
Démonstration
Par récurrence sur \(n\), montrons la propriété \(P_{n}\) : « un polynôme de degré \(n\) a au plus \(n\) racines ».• Initialisation : pour \(n = 1\), \(a_{1}z + a_{0} = 0 \Leftrightarrow z = -\dfrac{a_{0}}{a_{1}}\) : un polynôme de degré \(1\) a une seule racine.
• Hérédité : soit \(n \geq 1\) fixé, on suppose \(P_{n}\) vraie et soit \(P\) de degré \(n + 1\). Si \(P\) n'a aucune racine, c'est terminé. Sinon, soit \(\alpha\) une racine : d'après le théorème 1, \(P(z) = (z - \alpha)Q(z)\) avec \(\deg Q = n\).
Si \(\beta\) est une racine de \(P\), alors \((\beta - \alpha)Q(\beta) = 0\), donc \(\beta = \alpha\) ou \(Q(\beta) = 0\) (produit nul). Les racines de \(P\) sont donc \(\alpha\) et celles de \(Q\), au plus \(n\) par hypothèse de récurrence : \(P\) a au plus \(n + 1\) racines.
• Conclusion : d'après le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout \(n \geq 1\). □
Méthode (équation de degré 3 dont une racine \(\alpha\) est connue) :
1. Vérifier que \(P(\alpha) = 0\).
2. Écrire \(P(z) = (z - \alpha)(az^{2} + bz + c)\), développer et déterminer \(a\), \(b\), \(c\) par identification des coefficients.
3. Résoudre \(az^{2} + bz + c = 0\) (fiche C1.3) : les solutions de \(P(z) = 0\) sont \(\alpha\) et les racines du trinôme.
1. Vérifier que \(P(\alpha) = 0\).
2. Écrire \(P(z) = (z - \alpha)(az^{2} + bz + c)\), développer et déterminer \(a\), \(b\), \(c\) par identification des coefficients.
3. Résoudre \(az^{2} + bz + c = 0\) (fiche C1.3) : les solutions de \(P(z) = 0\) sont \(\alpha\) et les racines du trinôme.
Exemple 3 :
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l'équation \(z^{3} - 3z^{2} + 4z - 2 = 0\).
• On a vu (exemple 2) que \(1\) est racine de \(P(z) = z^{3} - 3z^{2} + 4z - 2\). D'après le théorème 1, \(P(z) = (z - 1)(az^{2} + bz + c)\) avec \(a\), \(b\), \(c\) à déterminer.
• Développons : \[(z - 1)(az^{2} + bz + c) = az^{3} + (b - a)z^{2} + (c - b)z - c\] Par identification avec \(z^{3} - 3z^{2} + 4z - 2\) : \(a = 1\) ; \(b - a = -3\) donc \(b = -2\) ; \(c - b = 4\) donc \(c = 2\) (et \(-c = -2\) : cohérent). Donc \(P(z) = (z - 1)(z^{2} - 2z + 2)\).
• \(z^{2} - 2z + 2 = 0\) : \(\Delta = (-2)^{2} - 4 \times 2 = -4 < 0\), d'où les solutions \(\dfrac{2 - 2i}{2} = 1 - i\) et \(1 + i\).
Conclusion : \(S = \{ 1\ ;\ 1 - i\ ;\ 1 + i \}\) et \(P(z) = (z - 1)(z - 1 + i)(z - 1 - i)\).
Remarques :
• Théorème de d'Alembert-Gauss : tout polynôme de degré \(n \geq 1\) admet au moins une racine dans \(\mathbb{C}\).
Ce théorème garantit alors pour un polynôme \(P\) qu'il est toujours possible d'écrire \(P(z) = (z - \alpha)Q(z)\). De proche en proche, on finit par obtenir \[P(z) = a_{n}(z - z_{1}) \cdots (z - z_{n})\] les \(z_{k}\) n'étant pas forcément distincts : un polynôme \(P\) de degré \(n\) possède exactement \(n\) racines comptées avec multiplicité.
• Coefficients réels : si les \(a_{k} \in \mathbb{R}\) et que \(\alpha\) est une racine complexe de \(P\), alors comme \(\overline{a_{k}} = a_{k}\) et que \(P(\alpha) = 0\), on a \(P\left( \overline{\alpha} \right) = \overline{P(\alpha)} = 0\) : \(\overline{\alpha}\) est donc aussi une racine de \(P\). Autrement dit, pour un polynôme à coefficients réels, les racines non réelles vont forcément par paires conjuguées, chaque paire \(\alpha, \overline{\alpha}\) donnant un facteur de degré 2 à coefficients réels : \[(z - \alpha)(z - \overline{\alpha}) = z^{2} - 2\operatorname{Re}(\alpha)\,z + \alpha\overline{\alpha}\] • Relations entre racines et coefficients : soit un polynôme \(P(z) = a_{n}z^{n} + a_{n - 1}z^{n - 1} + \cdots + a_{1}z + a_{0}\). En développant la « forme factorisée » \(P(z) = a_{n}(z - z_{1}) \cdots (z - z_{n})\), on obtient par identification : \[z_{1} + z_{2} + \cdots + z_{n} = -\dfrac{a_{n - 1}}{a_{n}} \quad \text{(somme des racines)}\] \[z_{1}z_{2} \cdots z_{n} = (-1)^{n}\dfrac{a_{0}}{a_{n}} \quad \text{(produit des racines)}\] En particulier, si \(z_{1}\), \(z_{2}\) sont les racines du trinôme \(az^{2} + bz + c\) : \(z_{1} + z_{2} = -\dfrac{b}{a}\) et \(z_{1}z_{2} = \dfrac{c}{a}\).
• Théorème de d'Alembert-Gauss : tout polynôme de degré \(n \geq 1\) admet au moins une racine dans \(\mathbb{C}\).
Ce théorème garantit alors pour un polynôme \(P\) qu'il est toujours possible d'écrire \(P(z) = (z - \alpha)Q(z)\). De proche en proche, on finit par obtenir \[P(z) = a_{n}(z - z_{1}) \cdots (z - z_{n})\] les \(z_{k}\) n'étant pas forcément distincts : un polynôme \(P\) de degré \(n\) possède exactement \(n\) racines comptées avec multiplicité.
• Coefficients réels : si les \(a_{k} \in \mathbb{R}\) et que \(\alpha\) est une racine complexe de \(P\), alors comme \(\overline{a_{k}} = a_{k}\) et que \(P(\alpha) = 0\), on a \(P\left( \overline{\alpha} \right) = \overline{P(\alpha)} = 0\) : \(\overline{\alpha}\) est donc aussi une racine de \(P\). Autrement dit, pour un polynôme à coefficients réels, les racines non réelles vont forcément par paires conjuguées, chaque paire \(\alpha, \overline{\alpha}\) donnant un facteur de degré 2 à coefficients réels : \[(z - \alpha)(z - \overline{\alpha}) = z^{2} - 2\operatorname{Re}(\alpha)\,z + \alpha\overline{\alpha}\] • Relations entre racines et coefficients : soit un polynôme \(P(z) = a_{n}z^{n} + a_{n - 1}z^{n - 1} + \cdots + a_{1}z + a_{0}\). En développant la « forme factorisée » \(P(z) = a_{n}(z - z_{1}) \cdots (z - z_{n})\), on obtient par identification : \[z_{1} + z_{2} + \cdots + z_{n} = -\dfrac{a_{n - 1}}{a_{n}} \quad \text{(somme des racines)}\] \[z_{1}z_{2} \cdots z_{n} = (-1)^{n}\dfrac{a_{0}}{a_{n}} \quad \text{(produit des racines)}\] En particulier, si \(z_{1}\), \(z_{2}\) sont les racines du trinôme \(az^{2} + bz + c\) : \(z_{1} + z_{2} = -\dfrac{b}{a}\) et \(z_{1}z_{2} = \dfrac{c}{a}\).
