Activité — Activités - Suites

Compléter chacune des suites suivantes, indiquer si elles sont arithmétiques ou géométriques et de quelle raison, puis donner (si possible) le centième nombre de la liste.

1. 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9
2. 0 ; 7 ; 14 ; 21 ; 28 ;
3. 15 ; 11 ; 7 ; 3 ; -1 ;
4. 1 ; 3 ; 9 ; 27 ; 81
5. 10 000 ; 5 000 ; 2 500 ; 1 250 ; 625 ;
6. 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ;
7. 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ;

Dans ce problème nous allons étudier deux types de placements.

Intérêts simples : Placer un capital à \(x\) % par an avec intérêts simples signifie que chaque année on reçoit le même intérêt qui est égal à \(x\,\%\) du capital de départ.

Intérêts composés : Placer un capital à \(x\) % par an avec intérêts composés signifie que les intérêts d'une année s'ajoutent au capital et que l'année suivante ils rapportent aussi des intérêts.

On souhaite placer une somme de \(10\,000\) euros. La banque nous propose deux propositions de placements :

Proposition 1 : Intérêt simple à \(5\,\%\)
Proposition 2 : Intérêt composé à \(4{,}5\,\%\)

On note \(u_{n}\) le montant obtenu au bout de \(n\) années de placement avec la proposition 1.
On note \(v_{n}\) le montant obtenu au bout de \(n\) années de placement avec la proposition 2. 1) a. Déterminer \(u_{0}\), \(u_{1}\) et \(u_{2}\).
b. Déterminer \(v_{0}\), \(v_{1}\) et \(v_{2}\).

2) a. Quelle est la nature de la suite \((u_{n})\) ? Préciser la raison.
b. Quelle est la nature de la suite \((v_{n})\) ? Préciser la raison.

3) On a réalisé sur tableur la feuille de calcul ci-contre.
a. Quelle formule devra-t-on entrer en \(B3\) et en \(C3\) pour remplir le tableau de façon automatique ?
b. Déterminer à partir de quelle année la proposition 2 devient plus intéressante que la proposition 1.
c. Déterminer le montant obtenu au bout de 20 ans avec les deux propositions.

4) On a représenté graphiquement les deux suites \((u_{n})\) et \((v_{n})\).
Pour chacune des propositions, comment peut-on qualifier l'évolution du montant obtenu ?

1) Calculer (le plus rapidement possible) la somme \(S = 1 + 2 + 3 + \ldots + 100\)

2) On note \(S_{n}\) la somme des \(n\) premiers entiers : \(S_{n} = 1 + 2 + 3 + \ldots + n\).

Nous allons essayer d'établir une formule permettant de calculer facilement \(S_{n}\).
L'idée est d'écrire deux fois la somme \(S_{n}\) des \(n\) premiers entiers mais dans le sens inverse :

a. Compléter le tableau suivant :
b. En déduire une formule pour \(2S_{n}\) puis pour \(S_{n}\) en fonction de \(n\).

c. Calculer \(S_{2020} = 1 + 2 + 3 + \ldots + 2\,020\)

3) Nous allons maintenant introduire une nouvelle notation pour écrire les sommes plus facilement : \[\sum_{k = 1}^{100} k = 1 + 2 + 3 + \ldots + 100\] a. Développer l'addition correspondante aux sommes suivantes :

\(S = \displaystyle\sum_{k = 0}^{5} k^{2}\)   \(S' = \displaystyle\sum_{k = 2}^{6} \dfrac{1}{k}\)

\(S'' = \displaystyle\sum_{k = 0}^{n} u_{k}\)   \(S''' = \displaystyle\sum_{k = 1}^{4} (2k + 1)\)

b. Ecrire les sommes suivantes en utilisant le symbole \(\sum\) :

\(S = 1 + 2 + 3 + \ldots + 10\)   \(S' = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12\)

\(S'' = 1 + 3 + 5 + \ldots + 99\)  
\(S''' = \dfrac{1}{3^2} + \dfrac{1}{4^2} + \dfrac{1}{5^2} + \dfrac{1}{6^2} + \dfrac{1}{7^2}\)

4) Nous allons voir enfin de quelle manière les ordinateurs calculent ces sommes.

a. Exécuter le programme Python ci-contre.

b. Quelle est la somme calculée par cet algorithme ?

c. Modifier le programme afin qu'il affiche la somme des \(100\) premiers carrés \(S = \displaystyle\sum_{k = 0}^{99} k^{2}\)

Le graphique ci-dessous montre le nombre de cas confirmés du COVID-19. 1) A vue d'oeil, la progression du nombre de cas semble-t-elle arithmétique ? géométrique ?

2) Calculer le pourcentage d'augmentation des cas de COVID d'une semaine sur l'autre.

3) Calculer le pourcentage d'augmentation moyen par semaine sur cette période.

4) On fait l'hypothèse que le nombre de cas poursuit son évolution en augmentant chaque semaine de \(39\,\%\). Selon ce modèle, faire une prédiction du nombre de cas auquel on peut s'attendre en semaine \(40\).