1 – Généralités
Définition 1 : On dit qu'une suite \((u_n)\) est arithmétique de raison \(r\) si pour tout rang \(n\), on a
\[u_{n+1} = u_n + r\]
Pour passer d'un terme au suivant, on ajoute toujours le même nombre \(r\), appelé la raison.
Exemple 1 :
\(u_0 = 1\) et \(r = 2\).
Formule de récurrence : \(u_{n+1} = u_n + 2\)
\(u_1 = 3\) ; \(u_2 = 5\) ; \(u_3 = 7\) ; \(u_4 = 9\) ; \(u_5 = 11\)
\(u_1 = 3\) ; \(u_2 = 5\) ; \(u_3 = 7\) ; \(u_4 = 9\) ; \(u_5 = 11\)
\(v_0 = 10\) et \(r = -3\)
Formule de récurrence : \(u_{n+1} = u_n - 3\)
\(v_1 = 7\) ; \(v_2 = 4\) ; \(v_3 = 1\) ; \(v_4 = -2\) ; \(v_5 = -5\)
\(v_1 = 7\) ; \(v_2 = 4\) ; \(v_3 = 1\) ; \(v_4 = -2\) ; \(v_5 = -5\)
Remarque : Les points de la représentation graphique d'une suite arithmétique sont alignés. On parle d'évolution linéaire, croissante si \(r > 0\), décroissante si \(r < 0\).
2 – Formule explicite
La formule explicite permet de calculer n'importe quel terme sans calculer tous les précédents.
Propriété 1 : Si \((u_n)\) est une suite arithmétique de raison \(r\) alors pour tout rang \(n\), on a
\[u_n = u_0 + nr\]
Remarque : Lorsque le premier terme est \(u_p\), on utilise la formule \(u_n = u_p + (n - p)r\).
Exemple 2 :
\(u_0 = 1\) et \(r = 2\).
Formule explicite : \(u_n = 1 + n \times 2 = 2n + 1\)
Calcul de \(u_{150}\) : \(u_{150} = 2 \times 150 + 1 = 301\)
Formule explicite : \(u_n = 1 + n \times 2 = 2n + 1\)
Calcul de \(u_{150}\) : \(u_{150} = 2 \times 150 + 1 = 301\)
\(v_1 = -7\) et \(r = 3\)
Formule explicite : \(v_n = -7 + (n - 1) \times 3\)
\(= 3n - 10\)
Calcul de \(v_{200}\) : \(v_{200} = 3 \times 200 - 10 = 590\)
Formule explicite : \(v_n = -7 + (n - 1) \times 3\)
\(= 3n - 10\)
Calcul de \(v_{200}\) : \(v_{200} = 3 \times 200 - 10 = 590\)
Exemple 3 :
Un athlète commence par courir \(3\,000\) m. Puis, il décide de s'entraîner chaque jour en parcourant \(150\) m de plus que la veille. On note \(d_n\) la distance parcourue le \(n^{\text{e}}\) jour d'entraînement.
1) Quelle est la nature de la suite \((d_n)\) ?
\((d_n)\) est arithmétique de raison \(r = 150\).
2) Exprimer \(d_n\) en fonction de \(n\).
\(d_n = d_0 + nr = 3\,000 + 150n\)
3) Quelle distance l'athlète parcourra-t-il le 7e jour d'entraînement ?
\(d_7 = 3\,000 + 150 \times 7 = 4\,050\). Il parcourra \(4\,050\) m lors du 7e jour d'entraînement.
3 – Moyenne arithmétique
Définition 2 : La moyenne arithmétique de deux nombres \(a\) et \(b\) est le nombre \(\dfrac{a + b}{2}\).
Exemple 4 :
La moyenne arithmétique de \(6\) et \(18\) est égale à \(\dfrac{6 + 18}{2} = \dfrac{24}{2} = 12\).
Propriété 2 : Si \((u_n)\) est une suite arithmétique alors pour tout rang \(n\), \(u_n\) est la moyenne arithmétique de \(u_{n-1}\) et de \(u_{n+1}\) :
\[u_n = \dfrac{u_{n-1} + u_{n+1}}{2}\]
Exemple 5 :
On considère une suite \((u_n)\) arithmétique mais de raison inconnue. Compléter le tableau ci-dessous et en déduire la raison de cette suite.
| \(n\) | \(15\) | \(16\) | \(17\) | \(18\) | \(19\) |
| \(u_n\) | \(18\) | \(\mathbf{20{,}5}\) | \(23\) | \(\mathbf{25{,}5}\) | \(28\) |
Exemple 6 :
Les nombres \(\dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{1}{3}\) et \(\dfrac{1}{4}\) sont-ils les termes consécutifs d'une suite arithmétique ?
Si c'était le cas alors la moyenne arithmétique du premier et du dernier devrait coïncider avec le second. Or : \(\dfrac{\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}}{2} = \dfrac{\dfrac{2}{4} + \dfrac{1}{4}}{2} = \dfrac{\dfrac{3}{4}}{2}\)
\(= \dfrac{1}{2} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{8} = 0{,}375 \neq \dfrac{1}{3}\)
4 – Somme des termes
Propriété 3 : Pour tout entier naturel \(n\), on a
\[\sum_{k=1}^{n} k = 1 + 2 + 3 + \ldots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}\]
Exemple 7 :
Lors d'une fête (post-COVID), tous les élèves de la classe trinquent ensemble. Combien y aura-t-il de « TCHIN » au total ?
Avec une classe de 20 élèves : Le 1er élève trinque avec \(19\) personnes, le deuxième ayant déjà trinqué avec le premier, ne trinque qu'avec 18 personnes. Le troisième avec \(17\) personnes, etc. Finalement, on calcule :
\(S = 19 + 18 + 17 + \ldots + 1 = \displaystyle\sum_{k=1}^{19} k\)
\(= \dfrac{19 \times (19 + 1)}{2} = \dfrac{19 \times 20}{2} = 190\).
Il y aura 190 « TCHIN » au total.
Propriété 4 : Soit \((u_n)\) une suite arithmétique de premier terme \(u_0\). On a
\(\sum_{k=0}^{n} u_k = u_0 + u_1 + \ldots + u_n\)
\(= (n+1) \times \dfrac{u_0 + u_n}{2}\)
\(= (n+1) \times \dfrac{u_0 + u_n}{2}\)
Remarque : On pourra retenir la formule suivante :
\[\sum_{k=0}^{n} u_k = \text{Nombre de termes} \times \dfrac{\text{Premier terme} + \text{Dernier terme}}{2}\]
Exemple 8 :
Soit \((u_n)\) une suite arithmétique de premier terme \(u_0 = 1\) et de raison \(r = 5\). Calculer la somme des 10 premiers termes consécutifs de cette suite :
\(\sum_{k=0}^{9} u_k = u_0 + u_1 + \ldots + u_9\)\(= 10 \times \dfrac{u_0 + u_9}{2} = 10 \times \dfrac{1 + (1 + 9 \times 5)}{2}\)
\(= 10 \times \dfrac{1 + 46}{2} = 235\)
Exemple 9 :
Calculer la distance parcourue par l'athlète de l'exemple 3 pendant sa 1re semaine d'entraînement.
\(\sum_{k=1}^{7} d_k = d_1 + \ldots + d_7\)\(= 7 \times \dfrac{d_1 + d_7}{2} = 7 \times \dfrac{3\,150 + 4\,050}{2} = 25\,200\) Il aura parcouru \(25\) km et \(200\) m.
