1 – Généralités
Définition 1 : On dit qu'une suite \((u_n)\) est géométrique de raison \(q\) si pour tout rang \(n\), on a
\[u_{n+1} = q \times u_n\]
Pour passer d'un terme au suivant, on le multiplie toujours par le même nombre \(q\), appelé la raison.
Exemple 1 :
\(u_0 = 1\) et \(q = 3\).
Formule de récurrence : \(u_{n+1} = 3 \times u_n\)
\(u_1 = 3\) ; \(u_2 = 9\) ; \(u_3 = 27\) ; \(u_4 = 81\)
\(u_1 = 3\) ; \(u_2 = 9\) ; \(u_3 = 27\) ; \(u_4 = 81\)
\(v_0 = 2\) et \(q = \dfrac{1}{2}\)
Formule de récurrence : \(v_{n+1} = 0{,}5 \times v_n\)
\(v_1 = 1\) ; \(v_2 = 0{,}5\) ; \(v_3 = 0{,}25\) ; \(v_4 = 0{,}125\)
\(v_1 = 1\) ; \(v_2 = 0{,}5\) ; \(v_3 = 0{,}25\) ; \(v_4 = 0{,}125\)
Remarque : Si les termes d'une grandeur peuvent être modélisés par une suite géométrique, on parle de croissance exponentielle si \(q > 1\) et de décroissance exponentielle si \(0 < q < 1\).
2 – Formule explicite
La formule explicite permet de calculer n'importe quel terme sans avoir à calculer tous les précédents.
Propriété 1 : Si \((u_n)\) est une suite géométrique de raison \(q\) alors pour tout rang \(n\), on a
\[u_n = u_0 \times q^n\]
Remarque : Lorsque le premier terme est \(u_p\), on utilise la formule \(u_n = u_p \times q^{n-p}\).
Exemple 2 :
\(u_0 = 2\) et \(q = 3\).
Formule explicite : \(u_n = 2 \times 3^n\)
Calcul de \(u_{10}\) : \(u_{10} = 2 \times 3^{10} = 118\,098\)
Formule explicite : \(u_n = 2 \times 3^n\)
Calcul de \(u_{10}\) : \(u_{10} = 2 \times 3^{10} = 118\,098\)
\(v_1 = 1\) et \(q = \dfrac{1}{2}\)
Formule explicite : \(v_n = 1 \times 0{,}5^{n-1}\)
Calcul de \(v_8\) :
\(v_8 = 1 \times 0{,}5^{8-1} = 0{,}5^7 = 0{,}0078\)
Formule explicite : \(v_n = 1 \times 0{,}5^{n-1}\)
Calcul de \(v_8\) :
\(v_8 = 1 \times 0{,}5^{8-1} = 0{,}5^7 = 0{,}0078\)
Remarque : Lorsqu'une quantité subit plusieurs évolutions successives d'un même pourcentage \(a\,\%\), alors on peut modéliser mathématiquement l'évolution de cette quantité par une suite géométrique, de premier terme \(u_0\) égal à sa valeur initiale, et de raison \(q = 1 + \dfrac{a}{100}\).
Exemple 3 :
On place un capital de \(5\,000\) € sur un compte dont les intérêts annuels s'élèvent à \(4\,\%\) par an. On note \(c_n\) la valeur du capital après \(n\) années de placement.
1) Quelle est la nature de la suite \((c_n)\) ?
\((c_n)\) est géométrique de raison \(q = 1 + \dfrac{4}{100} = 1{,}04\).
2) Exprimer \(c_n\) en fonction de \(n\).
\(c_n = u_0 \times q^n = 5\,000 \times 1{,}04^n\)
3) Quel capital disposera-t-on après 8 années de placement ?
\(c_8 = 5\,000 \times 1{,}04^8 = 6\,842{,}85\) €.
3 – Moyenne géométrique
Définition 2 : La moyenne géométrique de deux nombres \(a\) et \(b\) est le nombre \(\sqrt{ab}\).
Exemple 4 :
La moyenne géométrique de \(6\) et \(18\) est égale à \(\sqrt{6 \times 18} = \sqrt{108} \approx 10{,}4\).
Remarque : La moyenne géométrique n'est pas égale à la moyenne arithmétique.
Propriété 2 : \((u_n)\) est une suite géométrique si et seulement si pour tout rang \(n\), \(u_n\) est la moyenne géométrique de \(u_{n-1}\) et de \(u_{n+1}\) :
\[u_n = \sqrt{u_{n-1} \times u_{n+1}}\]
Exemple 5 :
On a relevé la population d'une ville pendant trois années consécutives :
| \(n\) | \(2018\) | \(2019\) | \(2020\) | \(2021\) |
| \(u_n\) | \(30\,000\) | \(31\,500\) | \(33\,075\) | \(\mathbf{34\,729}\) |
1) La population de cette ville suit-elle une évolution géométrique ? Si oui, de quelle raison ?
On vérifie que la moyenne géométrique du premier et du dernier terme est égale au terme du milieu :
\(\sqrt{30\,000 \times 33\,075} = 31\,500\) donc il s'agit bien d'une progression géométrique.
La raison est donnée par \(q = \dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{31\,500}{30\,000} = 1{,}05\). La population augmente donc de \(5\,\%\) par an.
2) Faire une prédiction de la population de cette ville en 2021.
Si la population continue de suivre la même évolution, elle sera de \(1{,}05 \times 33\,075 \approx 34\,729\) habitants.
4 – Somme des termes
Propriété 3 : Pour tout réel \(q \neq 1\) et entier naturel \(n\), on a
\(\sum_{k=0}^{n} q^k = 1 + q + q^2 + \ldots + q^n\)
\(= \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}\)
\(= \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}\)
Exemple 6 :
Un homme fait un premier pas d'un mètre. Puis, il marche en réalisant à chaque fois un pas deux fois plus petit que le précédent. Quelle distance aura-t-il parcourue au bout de \(10\) pas (au mm près) ?
1er pas : \(1\) m ; 2e pas : \(\dfrac{1}{2}\) m ; 3e pas : \(\dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2^2}\) m ; 4e pas : \(\dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{2^3}\) m ; ... ; 10e pas : \(\dfrac{1}{2^9}\) m
On calcule donc :
\(S = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2^2} + \ldots + \dfrac{1}{2^9}\)
\(= \dfrac{1 - 0{,}5^{10}}{1 - 0{,}5} = 1{,}998\) m.
Il aura parcouru \(1{,}998\) m.
Propriété 4 : Soit \((u_n)\) une suite géométrique de premier terme \(u_0\). On a
\(\sum_{k=0}^{n} u_k = u_0 + u_1 + \ldots + u_n\)
\(= u_0 \times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}\)
\(= u_0 \times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}\)
Remarque : On pourra retenir la formule suivante :
\[\sum_{k=0}^{n} u_k = \text{Premier terme} \times \dfrac{1 - q^{\text{Nombre de termes}}}{1 - q}\]
Exemple 7 :
La somme des 10 premiers termes consécutifs d'une suite \((u_n)\) géométrique de 1er terme \(u_0 = 5\) et de raison \(q = 2\) est égale à :
\(\sum_{k=0}^{9} u_k = u_0 + u_1 + \ldots + u_9\)\(= 5 \times \dfrac{1 - 2^{10}}{1 - 2} = 5\,115\)
Exemple 8 :
Un couple rembourse un crédit en versant une mensualité qui augmente de \(2\,\%\) par mois, pendant 1 an. La première mensualité est de \(200\) €. Quel est le coût total du crédit ?
Soit \(u_n\) la mensualité du \(n^{\text{e}}\) mois. \((u_n)\) est géométrique de raison \(q = 1{,}02\) et de 1er terme \(u_1 = 200\).
Le coût total du crédit est égal à : \(\sum_{k=1}^{12} u_k = u_1 + u_2 + \ldots + u_{12}\)
\(= 200 \times \dfrac{1 - 1{,}02^{12}}{1 - 1{,}02} = 2\,642{,}42\) euros
