1 – Définition
Définition 1 : Soit \(a\) un nombre réel strictement positif. On appelle fonction exponentielle de base \(a\) la fonction \(f(x) = a^{x}\) (la variable est en exposant) définie sur \(\mathbb{R}\) de la façon suivante :
● Cette fonction « prolonge » la suite géométrique \(u_{n} = a^{n}\) sur les nombres positifs.
● Cette fonction « s'étend » aux nombres négatifs en posant : \(a^{-x} = \dfrac{1}{a^{x}}\)
● Cette fonction « prolonge » la suite géométrique \(u_{n} = a^{n}\) sur les nombres positifs.
● Cette fonction « s'étend » aux nombres négatifs en posant : \(a^{-x} = \dfrac{1}{a^{x}}\)
Remarques :
● Quelle que soit la base \(a\), on a toujours \(f(0) = a^{0} = 1\) et \(f(1) = a^{1} = a\).
● L'image d'un nombre se calcule avec la calculatrice en utilisant la touche \(\mathbf{\hat{}}\).
● Quelle que soit la base \(a\), on a toujours \(f(0) = a^{0} = 1\) et \(f(1) = a^{1} = a\).
● L'image d'un nombre se calcule avec la calculatrice en utilisant la touche \(\mathbf{\hat{}}\).
Exemple 1 :
On a tracé ci-dessous la fonction \(f(x) = 2^{x}\).
● \(f(4) = 2^{4} = 16\)
● \(f(3{,}5) = 2^{3{,}5} \approx 11{,}313\)
● \(f(-1{,}5) = 2^{-1{,}5}\)
\(= \dfrac{1}{2^{1{,}5}} \approx 0{,}354\)
● \(f(0) = 2^{0} = 1\)
● \(f(1) = 2^{1} = 2\)
● \(f(3{,}5) = 2^{3{,}5} \approx 11{,}313\)
● \(f(-1{,}5) = 2^{-1{,}5}\)
\(= \dfrac{1}{2^{1{,}5}} \approx 0{,}354\)
● \(f(0) = 2^{0} = 1\)
● \(f(1) = 2^{1} = 2\)
2 – Sens de variation et représentation graphique
Propriété 1 : Soit \(a > 0\). La fonction exponentielle de base \(a\), \(f(x) = a^{x}\), est :
● Strictement croissante si \(a > 1\).
● Strictement décroissante si \(0 < a < 1\).
● Strictement croissante si \(a > 1\).
● Strictement décroissante si \(0 < a < 1\).
Remarque : La fonction \(f(x) = a^{x}\) a le même sens de variation que la suite géométrique qu'elle prolonge.
Exemple 2 :
● La fonction \(f(x) = 1{,}5^{x}\) est croissante.
● La fonction \(g(x) = 0{,}8^{x}\) est décroissante.
Propriété 2 : Soit \(a > 0\). On considère la fonction \(f\) définie par \(f(x) = k \times a^{x}\).
● Si \(k > 0\), \(f\) a le même sens de variation que \(x \mapsto a^{x}\).
● Si \(k < 0\), \(f\) a le sens de variation contraire de \(x \mapsto a^{x}\).
● Si \(k > 0\), \(f\) a le même sens de variation que \(x \mapsto a^{x}\).
● Si \(k < 0\), \(f\) a le sens de variation contraire de \(x \mapsto a^{x}\).
Exemple 3 :
La fonction \(f(x) = -0{,}5 \times 1{,}2^{x}\) est décroissante car \(x \mapsto 1{,}2^{x}\) est croissante (\(a > 1\)) et \(k < 0\).
Remarque : La fonction \(f(x) = ka^{x}\) prolonge une suite géométrique de 1er terme \(u_{0} = k\) et de raison \(q = a\).
