Activité 1 (Population de bactéries)
Consigne :
Un laboratoire d'analyse étudie l'évolution d'une population de bactéries au sein d'un organisme. On admet qu'au début de l'analyse, l'organisme contient \(1\,000\,000\) de bactéries et que chaque heure la population double. On note \(u_{n}\) le nombre de bactéries (en millions d'unités) présentes dans l'organisme au bout de \(n\) heures d'analyse.
Partie A : Analyse sur un temps discret
1) Déterminer \(u_{0}\), \(u_{1}\) et \(u_{2}\).
2) Exprimer \(u_{n + 1}\) en fonction de \(u_{n}\).
3) Quelle est la nature de la suite ?
4) Exprimer \(u_{n}\) en fonction de \(n\).
5) Déterminer la quantité de bactéries après \(7\) h d'analyse.
Partie B : Analyse sur un temps continu
Pour pouvoir analyser l'évolution du phénomène sur un temps continu, nous allons utiliser une fonction définie sur \(\mathbb{R}\) qui possède la même formule que la formule explicite de la suite \((u_{n})\).
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(t) = 2^{t}\).
1) Dans le repère ci-dessous, on a représenté la suite \((u_{n})\). Tracer la courbe de la fonction \(f\).
b. Déterminer une valeur plus précise à l'aide de la calculatrice.
3) Estimer au bout de combien de temps la population atteint \(700\,000\,000\) de bactéries.
4) On considère la population de bactéries à un temps \(t\) (en heures).
a. Par combien la population de bactéries sera-t-elle multipliée \(15\) minutes plus tard ?
b. Exprimer cette évolution en pourcentage.
