1 – Définition du taux moyen
Définition 1 : Lorsqu'une quantité subit \(n\) évolutions successives, le pourcentage d'évolution moyen correspond au pourcentage qui, répété \(n\) fois, donnerait le même pourcentage d'évolution globale.
Exemple 1 :
Lors des 3 dernières années, la population d'un lycée a augmenté successivement de \(12\%\) puis de \(15\%\) puis de \(21\%\). Le pourcentage d'évolution moyen correspond au pourcentage qui, appliqué trois fois, donnerait la même évolution globale. On cherche en quelque sorte à répartir équitablement les pourcentages sur les trois années.
Remarque : De même qu'il n'est pas possible d'additionner entre eux des pourcentages d'évolution, le pourcentage d'évolution moyen ne correspond pas non plus à la moyenne arithmétique des pourcentages.
Exemple 1 (suite) :
Justifier que le pourcentage d'évolution moyen de la population du lycée n'est pas \(16\%\).
Le pourcentage d'évolution moyen d'élèves dans le lycée sur les 3 ans n'est pas égal à
\(\dfrac{12\% + 15\% + 21\%}{3} = 16\%\).
En effet, si c'était le cas le nombre d'élèves aurait été multiplié par \(1{,}16^{3} = 1{,}560896\).
Or, il a été multiplié par \(1{,}12 \times 1{,}15 \times 1{,}21 = 1{,}55848\).
2 – Calcul du taux moyen
Propriété 1 : Lorsqu'une quantité subit \(n\) évolutions successives, le coefficient multiplicateur \(c\) associé au taux d'évolution moyen et le coefficient multiplicateur global \(C_{Global}\) sont liés par la relation :
\[c^{n} = C_{Global}\]
Remarque : Le coefficient multiplicateur \(c\) associé au taux moyen est donc donné par :
\[c = \left(C_{Global}\right)^{\frac{1}{n}}\]
Exemple 1 (suite) :
Déterminer le pourcentage d'évolution moyen de la population du lycée sur les 3 ans.
\(\bullet\) On a \(3\) évolutions successives donc \(n = 3\).
\(\bullet\) Le coefficient global s'obtient en multipliant les coefficients de chaque évolution :
\(C_{Global} = 1{,}12 \times 1{,}15 \times 1{,}21 = 1{,}55848\).
\(\bullet\) Le coefficient moyen \(c\) doit donc vérifier l'équation \(c^{3} = 1{,}55848\).
On a donc \(c = 1{,}55848^{\frac{1}{3}} \approx 1{,}1594\).
\(\bullet\) Le pourcentage d'évolution moyen est donc de \(15{,}94\%\). (On fait \(1{,}1594 \times 100 - 100\)).
