1 – Règles de calcul
Les règles de calculs avec les puissances entières s'étendent au cas où l'exposant est un nombre réel.
Propriété 1 : Soient \(a\) un réel strictement positif, \(x, y\) deux nombres réels et \(n\) un entier. On a :
● \(a^{x+y} = a^{x} \times a^{y}\)
● \(a^{x-y} = \dfrac{a^{x}}{a^{y}}\)
● \(\left(a^{x}\right)^{n} = a^{nx}\)
● \(a^{x+y} = a^{x} \times a^{y}\)
● \(a^{x-y} = \dfrac{a^{x}}{a^{y}}\)
● \(\left(a^{x}\right)^{n} = a^{nx}\)
Exemple 1 :
Simplifier les expressions suivantes :
\(\bullet\) \(a^{2} \times a^{3} = a^{2+3} = a^{5}\)
\(\bullet\) \(\dfrac{a^{2}}{a^{3}} = a^{2-3} = a^{-1} = \dfrac{1}{a}\)
\(\bullet\) \(a^{3{,}5} \times a^{-8} = a^{3{,}5 - 8}\)
\(= a^{-4{,}5} = \dfrac{1}{a^{4{,}5}}\)
\(\bullet\) \(\dfrac{a^{10{,}5}}{a^{6{,}4}} = a^{10{,}5 - 6{,}4} = a^{4{,}1}\)
\(\bullet\) \(\left(a^{2{,}5}\right)^{10} = a^{2{,}5 \times 10} = a^{25}\)
Exemple 2 :
Déterminer une valeur exacte des nombres suivants :
\(\bullet\)
\(\dfrac{\left(2^{4}\right)^{5} \times 2^{-17}}{2 \times \left(2^{-2}\right)^{4}} = \dfrac{2^{4 \times 5} \times 2^{-17}}{2^{1} \times 2^{-2 \times 4}}\)
\(= \dfrac{2^{20} \times 2^{-17}}{2^{1} \times 2^{-8}} = \dfrac{2^{20-17}}{2^{1-8}} = \dfrac{2^{3}}{2^{-7}}\)
\(= 2^{3-(-7)} = 2^{10} = 1024\) \(\bullet\) \(\dfrac{3^{2{,}5} \times 3^{6{,}3}}{\left(3^{2{,}2}\right)^{4}} = \dfrac{3^{2{,}5 + 6{,}3}}{3^{2{,}2 \times 4}}\)
\(= \dfrac{3^{8{,}8}}{3^{8{,}8}} = 3^{8{,}8 - 8{,}8} = 3^{0} = 1\) \(\bullet\) \(\left(10^{\frac{1}{4}}\right)^{3} \times 10^{\frac{1}{2}} \times 10^{-1} = 10^{3 \times \frac{1}{4}} \times 10^{\frac{1}{2}} \times 10^{-1}\)
\(= 10^{\frac{3}{4} + \frac{1}{2} - 1} = 10^{\frac{3}{4} + \frac{2}{4} - \frac{4}{4}} = 10^{\frac{1}{4}}\)
2 – Equation \(x^{n} = a\)
Propriété 2 : Soient \(a\) un réel strictement positif et \(n\) un entier supérieur ou égal à \(2\). L'équation \(x^{n} = a\) possède une unique solution positive, appelée racine \(n\)-ième de \(a\), notée \(\sqrt[n]{a}\) et qui vaut :
\[\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}\]
Remarques :
\(\bullet\) On peut vérifier que \(a^{\frac{1}{n}}\) est bien solution de cette équation :
\(\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{n} = a^{n \times \frac{1}{n}} = a^{1} = a\).
\(\bullet\) La racine \(2\)-ième de \(a\), \(\sqrt[2]{a}\), est appelée « racine carrée de \(a\) » et notée \(\sqrt{a}\).
\(\bullet\) Pour tout réel \(a > 0\), on a donc \(\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} = a^{0{,}5}\).
\(\bullet\) Lorsque \(n\) est pair, l'équation \(x^{n} = a\) possède également la solution négative opposée \(-\sqrt[n]{a}\).
\(\bullet\) On peut vérifier que \(a^{\frac{1}{n}}\) est bien solution de cette équation :
\(\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{n} = a^{n \times \frac{1}{n}} = a^{1} = a\).
\(\bullet\) La racine \(2\)-ième de \(a\), \(\sqrt[2]{a}\), est appelée « racine carrée de \(a\) » et notée \(\sqrt{a}\).
\(\bullet\) Pour tout réel \(a > 0\), on a donc \(\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} = a^{0{,}5}\).
\(\bullet\) Lorsque \(n\) est pair, l'équation \(x^{n} = a\) possède également la solution négative opposée \(-\sqrt[n]{a}\).
Exemple 3 :
Résoudre dans \([0 ; +\infty[\) les équations suivantes :
\(\bullet\) \(x^{2} = 225\). La solution positive est la racine carrée de \(225\) : \(\sqrt{225} = 15\). La solution négative est \(-15\).
\(\bullet\) \(x^{3} = 27\). La solution positive est la racine cubique de \(27\) :
\(\sqrt[3]{27} = 27^{\frac{1}{3}} = 3\). Il n'y a pas de solution négative.
\(\bullet\) \(x^{4} = 16\). La solution positive est la racine \(4\)-ième de \(16\) :
\(\sqrt[4]{16} = 16^{\frac{1}{4}} = 2\). La solution négative est \(-2\).
