Activité — Activités - Fonction logarithme

Dans un laboratoire on étudie l'évolution d'une population de bactéries pendant \(6\) h.

On commence avec une mise en culture de \(1\,000\) bactéries et on estime que la population est multipliée par \(10\) toutes les heures. On peut donc modéliser cette population par la fonction exponentielle \(f\) définie sur \([0\,;6]\) par \(f(x) = 10^{x}\) où \(x\) est la durée écoulée en heures, et \(f(x)\) en milliers d'individus.

1) Compléter le tableau de valeurs suivant : 2) Représenter la fonction \(f\) dans les deux repères ci-dessous. Figure 1 : Echelle linéaire sur les deux axes   Figure 2 : Echelle logarithmique sur \((Oy)\)

3) Quel est l'intérêt du repère avec une échelle logarithmique sur l'axe des ordonnées ?

4) Estimer graphiquement, puis vérifier par le calcul le nombre de bactéries :
a. Au bout de \(1\) h \(50\).   b. Au bout de \(5\) h \(30\).

5) Déterminer au bout de combien de temps la population de bactéries atteint :
a. \(5\,000\) individus.   b. \(5\,000\,000\) individus.   c. \(200\,000\,000\) individus.

6) Le temps \(x\) pour que la population atteigne \(N\) individus est donné par l'opération \(x = \log(N)\) appelé logarithme décimal de \(N\). A l'aide de votre calculatrice, vérifier les résultats précédents.

1) Représenter en bleu dans le repère ci-dessous (Figure 1), la suite géométrique de premier terme \(u_{0} = 100\) et de raison \(q = 3\). Que remarque-t-on ?

2) Représenter en rouge dans le repère ci-dessous (Figure 1) la fonction exponentielle définie sur \([0\,; +\infty[\) par \(f(x) = 10 \times 5{,}5^{x}\). Que remarque-t-on ?

3) On a relevé ci-dessous le nombre de nouveaux cas quotidiens de COVID-19 (moyenne sur \(7\) jours) avant la 2^e vague, chaque semaine à partir du 1^er Octobre 2020. On obtient la série statistique suivante :
a. Représenter en noir cette série statistique dans le repère ci-dessous (Figure 1).
b. Peut-on dire que le nombre de nouveaux cas quotidiens de COVID-19 suit une progression exponentielle sur cette période ?
c. Estimer le nombre de nouveaux cas quotidiens de COVID-19 au moment du pic de cette deuxième vague atteint le 07/11.
d. Utiliser le graphique en Figure 2 pour vérifier votre estimation.