1 – Règles de calcul
Le logarithme est une fonction qui transforme les produits en sommes.
Propriété 1 (Propriété fondamentale des logarithmes) :
Pour tous nombres réels strictement positifs \(a\) et \(b\), on a : \[\log(ab) = \log(a) + \log(b)\]
Pour tous nombres réels strictement positifs \(a\) et \(b\), on a : \[\log(ab) = \log(a) + \log(b)\]
Exemple 1 :
Ecrire les logarithmes suivants comme somme de logarithmes de nombres premiers :
\(\bullet\) \(\log(6) = \log(2 \times 3) = \log 2 + \log 3\)
\(\bullet\) \(\log(35) = \log(5 \times 7) = \log 5 + \log 7\)
Exemple 2 :
Calculer sans calculatrice :
\(\log 2 + \log 5 = \log(2 \times 5) = \log(10) = 1\)
Exemple 3 :
Exprimer \(\log(a^{3})\) en fonction de \(\log(a)\) :
\(\log\left(a^{3}\right) = \log(a \times a \times a)\)
\(= \log a + \log a + \log a = 3\log a\).
Propriété 2 : Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels strictement positifs, \(n\) un entier naturel et \(x\) un réel. On a :
(1) \(\log\left(a^{n}\right) = n\log a\)
(2) \(\log\left(a^{x}\right) = x\log a\)
(3) \(\log\left(\dfrac{1}{b}\right) = -\log b\)
(4) \(\log\left(\dfrac{a}{b}\right) = \log a - \log b\)
(1) \(\log\left(a^{n}\right) = n\log a\)
(2) \(\log\left(a^{x}\right) = x\log a\)
(3) \(\log\left(\dfrac{1}{b}\right) = -\log b\)
(4) \(\log\left(\dfrac{a}{b}\right) = \log a - \log b\)
Exemple 4 :
Ecrire ces logarithmes comme combinaisons linéaires de logarithmes de nombres premiers :
\(\bullet\) \(\log(16) = \log\left(2^{4}\right) = 4\log 2\)
\(\bullet\) \(\log\left(\sqrt{5}\right) = \log\left(5^{0{,}5}\right)\)
\(= \dfrac{1}{2}\log 5\)
\(\bullet\) \(\log(72) = \log\left(2^{3} \times 3^{2}\right)\)
\(= 3\log 2 + 2\log 3\)
\(\bullet\) \(\log\left(\dfrac{1}{3}\right) = -\log 3\)
\(\bullet\) \(\log\left(\dfrac{11}{13}\right) = \log 11 - \log 13\)
\(\bullet\) \(\log(2{,}5) = \log\left(\dfrac{5}{2}\right)\)
\(= \log 5 - \log 2\)
\(\bullet\)
\(\log\left(\dfrac{14}{25}\right) = \log 14 - \log 25\)
\(= \log(2 \times 7) - \log\left(5^{2}\right) = \log 2 + \log 7 - 2\log 5\)
2 – Application à la résolution des équations du type \(x^{a} = b\) et \(a^{x} = b\)
Méthode : Pour résoudre ce type d'équation on applique le logarithme des deux côtés de l'équation ou de l'inéquation afin de faire « descendre » la puissance.
Exemple 5 :
Résoudre les équations et inéquations suivantes :
\(\bullet\) \(2^{x} = 10\) :
\(\Longleftrightarrow \log 2^{x} = \log 10\)
\(\Longleftrightarrow x\log 2 = 1\)
\(\Longleftrightarrow x = \dfrac{1}{\log 2} \approx 3{,}32\)
\(S = \left\{\dfrac{1}{\log 2}\right\}\)
\(\bullet\) \(x^{0{,}1} = 5\) :
\(\Longleftrightarrow \log x^{0{,}1} = \log 5\)
\(\Longleftrightarrow 0{,}1\log x = \log 5\)
\(\Longleftrightarrow \log x = 10\log 5 = \log\left(5^{10}\right)\)
\(\Longleftrightarrow x = 5^{10}\)
\(S = \left\{5^{10}\right\}\)
\(\bullet\) \(0{,}7^{x} < 0{,}2\) :
\(\Longleftrightarrow \log 0{,}7^{x} < \log 0{,}2\)
\(\Longleftrightarrow x\log 0{,}7 < \log 0{,}2\)
\(\Longleftrightarrow x > \dfrac{\log 0{,}2}{\log 0{,}7} \approx 4{,}5\)
\(S \approx ]4{,}5 ; +\infty[\)
