1 – Définition
Définition 1 : Soit \(b\) un nombre réel strictement positif.
● On appelle logarithme décimal de \(b\) et on note \(\log(b)\) l'unique solution \(x\) de l'équation \(10^{x} = b\).
● La fonction logarithme décimal est la fonction définie sur \(]0 ; +\infty[\) par \(f(x) = \log(x)\).
● On appelle logarithme décimal de \(b\) et on note \(\log(b)\) l'unique solution \(x\) de l'équation \(10^{x} = b\).
● La fonction logarithme décimal est la fonction définie sur \(]0 ; +\infty[\) par \(f(x) = \log(x)\).
Remarques :
● \(10^{x} = b\) est donc équivalent à \(x = \log(b)\).
● Pour tout réel strictement positif \(b > 0\), on a \(10^{\log(b)} = b\).
● \(\log(1) = 0\) ; \(\log(10) = 1\) ; \(\log(100) = 2\) ; \(\log(1000) = 3\) ; etc.
● \(\log(0{,}1) = -1\) ; \(\log(0{,}01) = -2\) ; \(\log(0{,}001) = -3\) ; etc.
● Plus généralement pour tout entier \(n\), on a \(\log\left(10^{n}\right) = n\).
● En pratique pour déterminer le logarithme d'un nombre on utilise la touche \(\log\) de la calculatrice.
● \(10^{x} = b\) est donc équivalent à \(x = \log(b)\).
● Pour tout réel strictement positif \(b > 0\), on a \(10^{\log(b)} = b\).
● \(\log(1) = 0\) ; \(\log(10) = 1\) ; \(\log(100) = 2\) ; \(\log(1000) = 3\) ; etc.
● \(\log(0{,}1) = -1\) ; \(\log(0{,}01) = -2\) ; \(\log(0{,}001) = -3\) ; etc.
● Plus généralement pour tout entier \(n\), on a \(\log\left(10^{n}\right) = n\).
● En pratique pour déterminer le logarithme d'un nombre on utilise la touche \(\log\) de la calculatrice.
Exemple 1 :
Calculer une valeur approchée des logarithmes suivants :
● \(\log(30\;000) \approx 4{,}48\). Cela signifie que l'on a \(10^{4{,}48} \approx 30\;000\).
● \(\log(0{,}009) \approx -2{,}05\). Cela signifie que l'on a \(10^{-2{,}05} \approx 0{,}009\).
Exemple 2 :
Résoudre les équations suivantes :
● \(10^{x} = 500\)
\(\Longleftrightarrow x = \log(500) \approx 2{,}70\)
● \(\log x = 5 \Longleftrightarrow x = 10^{5} = 100\;000\)
2 – Représentation graphique et propriétés
Propriété 1 : La courbe représentative de la fonction logarithme décimal \(f(x) = \log(x)\) est le symétrique de la courbe de la fonction exponentielle \(g(x) = 10^{x}\) par rapport à l'axe d'équation \(y = x\).
Remarque : Ainsi, on a
\(M(x ; y) \in \mathcal{C}_{g} \Longleftrightarrow M'(y ; x) \in \mathcal{C}_{f}\).
\(M(x ; y) \in \mathcal{C}_{g} \Longleftrightarrow M'(y ; x) \in \mathcal{C}_{f}\).
Propriété 2 :
● La fonction logarithme décimal est strictement croissante sur \(]0 ; +\infty[\).
● Pour tout nombre réel \(x\), lorsque \(x < 1\) on a \(\log(x) < 0\) et lorsque \(x > 1\) on a \(\log(x) > 0\).
● La fonction logarithme décimal est strictement croissante sur \(]0 ; +\infty[\).
● Pour tout nombre réel \(x\), lorsque \(x < 1\) on a \(\log(x) < 0\) et lorsque \(x > 1\) on a \(\log(x) > 0\).
Exemple 3 :
Résoudre les inéquations suivantes :
● \(x\log(2) > 10\) : On divise l'inéquation par \(\log(2) > 0\) donc l'inégalité reste dans le même sens.
\(x > \dfrac{10}{\log(2)} \approx 33{,}2\). On a donc \(S = ]33{,}2 ; +\infty[\).
● \(x\log(0{,}5) \leq 20\) : On divise l'inéquation par \(\log(0{,}5) < 0\) donc l'inégalité change de sens.
\(x \geq \dfrac{20}{\log(0{,}5)} \approx -66{,}4\). On a donc \(S = [-66{,}4 ; +\infty[\).
