1 – Types d'ajustement
Dans certains cas, lorsque les points ne sont pas presque alignés, l'ajustement affine n'est pas le plus adapté. Voici les principaux autres types d'ajustements possibles pour un nuage de points :
2 – Changement de variables
Il est parfois possible de se ramener à un ajustement affine en utilisant un changement de variables.
Exemple 1 :
Le tableau ci-dessous donne l'évolution du nombre d'employés dans une entreprise en fonction de l'année. On a représenté en figure 1 le nuage de points \(M(x_{i};y_{i})\) de cette série statistique.
| Année | \(2014\) | \(2015\) | \(2016\) | \(2017\) | \(2018\) | \(2019\) | \(2020\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Rang de l'année \(x_{i}\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) | \(7\) |
| Nombre d'employés \(y_{i}\) | \(66\) | \(104\) | \(130\) | \(207\) | \(290\) | \(345\) | \(428\) |
(Avant le changement de variable)
(Après le changement de variable)
- Quel type d'ajustement semble-t-il le plus adapté pour le nuage de points \(M(x_{i};y_{i})\) ?
Un ajustement polynomial semble le plus adapté. - On décide donc d'effectuer le changement de variable \(z = \sqrt{y - 3}\). Compléter le tableau ci-dessous.
| Rang de l'année \(x_{i}\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) | \(7\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(z_{i} = \sqrt{y_{i} - 3}\) | \(5{,}12\) | \(7{,}2\) | \(8{,}4\) | \(11{,}39\) | \(14\) | \(15{,}57\) | \(17{,}69\) |
- Représenter en figure 2 le nuage de points \(P_{i}(x_{i};z_{i})\) de cette nouvelle série statistique.
- Un ajustement affine de ce nouveau nuage de points semble-t-il pertinent ?
Oui, car les points du nuage sont presque alignés. - a. A l'aide de la calculatrice, déterminer l'équation de la droite \(\mathcal{D}\) d'ajustement obtenue par la méthode des moindres carrés du nuage de points \(P_{i}(x_{i};z_{i})\).
Après saisie de la série statistique \((x_{i};z_{i})\) dans la calculatrice on trouve : \(a \approx 2{,}14\) et \(b = 2{,}76\).
La droite \(\mathcal{D}\) a donc pour équation \(\mathcal{D} : z = 2{,}14x + 2{,}76\)
b. Tracer cette droite.
On calcule les coordonnées de deux points \(A\) et \(B\) de la droite \(\mathcal{D}\) :
\(x = 0\) : \(z = 2{,}14 \times 0 + 2{,}76 = 2{,}76\) (ordonnée à l'origine). On place \(A(0 ; 2{,}76)\).
\(x = 10\) : \(z = 2{,}14 \times 10 + 2{,}76 = 24{,}16\). On place \(B(10 ; 24{,}16)\). - Réaliser les estimations suivantes :
- Le nombre d'employés qu'il y aura en \(2021\).
\(2021\) est l'année de rang \(8\) : donc \(x = 8\). On cherche le nombre d'employés \(y\).
On commence par utiliser la droite d'ajustement : \(z = 2{,}14 \times 8 + 2{,}76 \approx 19{,}88\).
On applique notre changement de variable : on sait que \(z = \sqrt{y - 3}\) et que \(z \approx 19{,}88\).
On résout donc \(\sqrt{y - 3} = 19{,}88\) d'où \(\sqrt{y} = 19{,}88 + 3 = 22{,}88\) puis \(y = 22{,}88^{2} \approx 523\).
On peut estimer le nombre d'employés à \(523\) en \(2021\). - A partir de quelle année le nombre d'employés dépassera \(625\).
On sait que \(y = 625\). On cherche le rang de l'année \(x\).
On applique notre changement de variable : on sait que \(z = \sqrt{y - 3}\) donc \(z = \sqrt{625 - 3} = 22\).
On utilise la droite d'ajustement \(z = 2{,}14x + 2{,}76\) et \(z = 22\).
On résout donc \(2{,}14x + 2{,}76 = 22\) d'où \(2{,}14x = 22 - 2{,}76 = 19{,}24\)
puis \(x = \dfrac{19{,}24}{2{,}14} \approx 9\).
Le nombre d'employés dépasse \(625\) à partir de l'année de rang \(9\) donc à partir de \(2022\).
- Le nombre d'employés qu'il y aura en \(2021\).
