1 – Droite d'ajustement
Lorsque les points sont presque alignés, on peut approcher ces points à l'aide d'une droite d'ajustement.
Définition :
- La droite d'ajustement qui passe au plus près des points du nuage est la droite de régression \(\mathcal{D}\) d'équation \(y = ax + b\) obtenue par la méthode des moindres carrés : on minimise la somme des carrés des distances entre les points du nuage et la droite.
- Cette droite \(\mathcal{D}\) passe par le point moyen \(G(\overline{x};\overline{y})\) du nuage.
Remarque : Pour déterminer les coefficients \(a\) et \(b\) de l'équation, on utilise le tableur ou la calculatrice.
Tutoriel Casio : Menu STAT, entrer les valeurs dans List 1 et List 2, puis configuration 2Var pour obtenir les statistiques. Ensuite accéder à REG puis sélectionner Linear (ax+b) pour obtenir \(a\), \(b\) et \(r\).
Tutoriel TI : Touche STAT puis Editer, entrer les valeurs dans L1 et L2. Dans l'onglet CALC, sélectionner RegLin(ax+b) puis Calculer pour obtenir \(a\), \(b\) et \(r\).
Tutoriel TI : Touche STAT puis Editer, entrer les valeurs dans L1 et L2. Dans l'onglet CALC, sélectionner RegLin(ax+b) puis Calculer pour obtenir \(a\), \(b\) et \(r\).
2 – Interpolation et extrapolation
Un ajustement permet de faire des estimations :
- Une interpolation dans l'intervalle des valeurs connues.
- Une extrapolation à l'extérieur de cet intervalle.
Exemple 1 :
On reprend la série sur la superficie \((x_{i})\) et le prix \((y_{i})\) des appartements anciens.
- Le nuage de points \(M_{i}(x_{i};y_{i})\) associé à la série est représenté ci-contre. Un ajustement affine est-il possible ?
Oui, car les points sont presque alignés. - a. A l'aide de la calculatrice, déterminer l'équation de la droite \(\mathcal{D}\) d'ajustement obtenue par la méthode des moindres carrés (arrondir les coefficients au centième).
On trouve \(a = 0{,}91\) et \(b = 4{,}62\).
\(\mathcal{D}\) a pour équation \(y = 0{,}91x + 4{,}62\)
b. Tracer cette droite dans le repère.
On calcule les coordonnées de deux points éloignés \(A\) et \(B\) de la droite \(\mathcal{D}\) :
Si \(x = 150\) alors \(y = 0{,}91 \times 150 + 4{,}62 = 141{,}12\). On place \(B(150 ; 141{,}12)\).
- Vérifier que cette droite passe par le point moyen \(G(60{,}8 ; 60)\) du nuage.
\(0{,}91 \times x_{G} + 4{,}62 = 0{,}91 \times 60{,}8 + 4{,}62\)
\(\approx 60 = y_{G}\) donc \(G \in \mathcal{D}\). - Réaliser les estimations suivantes en précisant s'il s'agit d'une interpolation ou d'une extrapolation :
- Le prix d'un appartement de \(130\) m² (arrondi au K€ près).
On a \(x = 130\) donc \(y = 0{,}91 \times 130 + 4{,}62 \approx 123\).
Le prix d'un appartement de \(130\) m² est estimé à \(123\,000\) €.
\(130 \notin [32 ; 110]\) donc il s'agit d'une extrapolation. - La surface d'un appartement coûtant \(100\,000\) €.
On a \(y = 100\) donc on doit résoudre l'équation : \(100 = 0{,}91x + 4{,}62\)
\(100 = 0{,}91x + 4{,}62 \Leftrightarrow 100 - 4{,}62 = 0{,}91x\)
\(\Leftrightarrow 0{,}91x = 95{,}38\)
\(\Leftrightarrow x = \dfrac{95{,}38}{0{,}91} \approx 105\)
La surface d'un appartement coûtant \(100\,000\) € est estimée à \(105\) m².
\(100 \in [33 ; 105]\) donc il s'agit d'une interpolation.
- Le prix d'un appartement de \(130\) m² (arrondi au K€ près).
