1 – Rappels : Sens de variation d'une suite
Définition 1 : Soit \(\left( u_{n} \right)\) une suite.
• \(\left( u_{n} \right)\) est croissante si pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_{n + 1} \geq u_{n}\).
• \(\left( u_{n} \right)\) est décroissante si pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_{n + 1} \leq u_{n}\).
• \(\left( u_{n} \right)\) est constante si pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_{n + 1} = u_{n}\).
• \(\left( u_{n} \right)\) est croissante si pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_{n + 1} \geq u_{n}\).
• \(\left( u_{n} \right)\) est décroissante si pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_{n + 1} \leq u_{n}\).
• \(\left( u_{n} \right)\) est constante si pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_{n + 1} = u_{n}\).
Vocabulaire : \(\left( u_{n} \right)\) est dite monotone si elle est croissante ou décroissante.
Méthodes : Pour étudier le sens de variation, on peut :
• étudier le signe de \(u_{n + 1} - u_{n}\) ;
• pour les suites à termes strictement positifs uniquement : comparer \(\dfrac{u_{n + 1}}{u_{n}}\) à \(1\) ;
• si \(u_{n} = f(n)\), étudier les variations de \(f\) sur \([0\ ;\ +\infty[\).
• étudier le signe de \(u_{n + 1} - u_{n}\) ;
• pour les suites à termes strictement positifs uniquement : comparer \(\dfrac{u_{n + 1}}{u_{n}}\) à \(1\) ;
• si \(u_{n} = f(n)\), étudier les variations de \(f\) sur \([0\ ;\ +\infty[\).
Exemple 1 :
Soit \((u_{n})\) la suite définie pour tout entier naturel \(n\) par \(u_{n} = n^{2}\).
• Méthode 1 : \[\begin{aligned} u_{n + 1} - u_{n} &= (n + 1)^{2} - n^{2} \\ &= n^{2} + 2n + 1 - n^{2} \\ &= 2n + 1 \end{aligned}\] Or \(2n + 1 > 0\) (car \(n \geq 0\)),
donc pour tout rang \(n\), \(u_{n + 1} - u_{n} > 0\), c'est-à-dire \(u_{n + 1} > u_{n}\) : la suite \((u_{n})\) est croissante.
• Méthode 2 : Pour \(n \geq 1\), \(u_{n} > 0\) et : \[\begin{aligned} \dfrac{u_{n + 1}}{u_{n}} &= \dfrac{(n + 1)^{2}}{n^{2}} \\ &= \left( \dfrac{n + 1}{n} \right)^{2} \\ &= \left( \dfrac{n}{n} + \dfrac{1}{n} \right)^{2} \\ &= \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^{2} > 1 \quad \text{car } 1 + \dfrac{1}{n} > 1 \end{aligned}\] Donc pour tout rang \(n \geq 1\), \(\dfrac{u_{n + 1}}{u_{n}} > 1\), et de plus \(u_{1} > u_{0}\) donc la suite \((u_{n})\) est croissante.
• Méthode 3 : \(u_{n} = f(n)\) avec \(f(x) = x^{2}\) qui est croissante sur \([0\ ;\ +\infty[\), donc \((u_{n})\) est croissante.
2 – Suites majorées, minorées, bornées
Définition 2 : Soit \(\left( u_{n} \right)\) une suite.
• \(\left( u_{n} \right)\) est majorée s'il existe \(M \in \mathbb{R}\) tel que pour tout \(n\), \(u_{n} \leq M\).
• \(\left( u_{n} \right)\) est minorée s'il existe \(m \in \mathbb{R}\) tel que pour tout \(n\), \(u_{n} \geq m\).
• \(\left( u_{n} \right)\) est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
• \(\left( u_{n} \right)\) est majorée s'il existe \(M \in \mathbb{R}\) tel que pour tout \(n\), \(u_{n} \leq M\).
• \(\left( u_{n} \right)\) est minorée s'il existe \(m \in \mathbb{R}\) tel que pour tout \(n\), \(u_{n} \geq m\).
• \(\left( u_{n} \right)\) est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
Remarques :
• Toute suite croissante est minorée par son premier terme.
• Toute suite décroissante est majorée par son premier terme.
• Toute suite croissante est minorée par son premier terme.
• Toute suite décroissante est majorée par son premier terme.
Exemple 2 :
Soit \(\left( u_{n} \right)\) définie par \(u_{0} = 2\) et \(u_{n + 1} = \dfrac{1 + u_{n}}{2}\).
• On a montré dans la fiche précédente (exemple 3) que \(\left( u_{n} \right)\) est minorée par \(1\) : pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_{n} \geq 1\).
• La suite est décroissante : \[\begin{aligned} u_{n + 1} - u_{n} &= \dfrac{1 + u_{n}}{2} - u_{n} \\ &= \dfrac{1 + u_{n} - 2u_{n}}{2} \\ &= \dfrac{1 - u_{n}}{2} \end{aligned}\] Or \(u_{n} \geq 1\) donc \(1 - u_{n} \leq 0\), donc \(\dfrac{1 - u_{n}}{2} \leq 0\).
Ainsi, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_{n + 1} - u_{n} \leq 0\) : la suite est décroissante.
• Elle est donc majorée par son premier terme : pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_{n} \leq u_{0} = 2\).
• Elle est donc bornée : pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(1 \leq u_{n} \leq 2\).
3 – Limite d'une suite
Définition 3 (Limite infinie) : On dit qu'une suite \(\left( u_{n} \right)\) tend vers \(+\infty\) si tout intervalle \([A\ ;\ +\infty[\) contient toutes les valeurs \(u_{n}\) à partir d'un certain rang.
De même, \(\left( u_{n} \right)\) tend vers \(-\infty\) si tout intervalle \(]-\infty\ ;\ A]\) contient tous les \(u_{n}\) à partir d'un certain rang.
De même, \(\left( u_{n} \right)\) tend vers \(-\infty\) si tout intervalle \(]-\infty\ ;\ A]\) contient tous les \(u_{n}\) à partir d'un certain rang.
Notation : On note alors \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_{n} = +\infty\) ou \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_{n} = -\infty\).
Exemple 3 :
La suite définie pour tout rang \(n\) par \(u_{n} = n^{2}\) tend vers \(+\infty\) : \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_{n} = +\infty\).
Quel que soit le réel \(A\), il existe un rang \(n_{0}\) à partir duquel tous les termes sont plus grands que \(A\) :
• Supérieur à \(A = 10\,000\) : \(n_{0} = 100\)
• Supérieur à \(A = 100\,000\) : \(n_{0} = 317\)
• Plus généralement pour \(A\) fixé, \(n_{0} = \sqrt{A}\).
Représentation graphique de \((u_{n})\)
Programme Python : rang à partir duquel \(u_{n} \geq 100\,000\)
Définition 4 (Limite finie) : La suite \(\left( u_{n} \right)\) converge vers \(\ell\) si tout intervalle ouvert contenant \(\ell\) contient toutes les valeurs \(u_{n}\) à partir d'un certain rang.
Notation : On note alors \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_{n} = \ell\) et on dit que la suite est convergente.
Exemple 4 :
La suite \((u_{n})\) définie pour tout entier naturel \(n \geq 1\) par \(u_{n} = \dfrac{4n - 1}{2n}\) converge vers \(2\) : \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_{n} = 2\).
• Les termes de la suite se rapprochent de plus en plus de la valeur « \(2\) », et aussi proche que l'on veut.
• Pour tout réel \(\varepsilon > 0\), il existe un rang \(n_{0}\) à partir duquel \(\left| u_{n} - 2 \right| < \varepsilon\) (où \(\left| u_{n} - 2 \right|\) est la distance entre \(u_{n}\) et \(2\)).
• Pour \(\varepsilon = 0{,}01\) on a \(n_{0} = 51\).
Les termes de \((u_{n})\) s'approchent de \(2\)
Tableur : à partir de \(n = 51\), \(\left| u_{n} - 2 \right| < 0{,}01\)
Remarque : Une suite qui ne converge pas est dite divergente : soit elle tend vers \(+\infty\) ou \(-\infty\), soit elle n'a pas de limite. Exemple : \(u_{n} = (-1)^{n}\) alterne entre \(-1\) et \(1\) et n'a pas de limite.
4 – Théorèmes de convergence
Théorème 1 : Toute suite croissante et non majorée diverge vers \(+\infty\).
Démonstration
Soit \(\left( u_{n} \right)\) croissante et non majorée. Soit \(A \in \mathbb{R}\). Comme \(A\) n'est pas un majorant, il existe \(n_{0}\) tel que \(u_{n_{0}} > A\). Comme la suite est croissante, pour tout \(n \geq n_{0}\) : \(u_{n} \geq u_{n_{0}} > A\). Donc \(u_{n} \rightarrow +\infty\). □
Théorème 2 (admis) : Toute suite croissante et majorée ou décroissante et minorée est convergente.
Remarque : Ce théorème ne donne pas la valeur de la limite.
Exemple 5 :
On a montré que la suite \(\left( u_{n} \right)\) définie par \(u_{0} = 2\) et \(u_{n + 1} = \dfrac{1 + u_{n}}{2}\) était décroissante et minorée. D'après le théorème précédent, elle est donc convergente (mais a priori pas forcément vers \(1\)).
