1 – Suites de références
Propriété 1 :
• Les suites de terme général \(n\) ; \(n^{2}\) ; \(n^{3}\) ; \(n^{k}\) (où \(k \in \mathbb{N}^{*}\)) ; \(\sqrt{n}\) et \(e^{n}\) ont pour limite \(+\infty\).
• Les suites de terme général \(\dfrac{1}{n}\) ; \(\dfrac{1}{n^{2}}\) ; \(\dfrac{1}{n^{3}}\) ; \(\dfrac{1}{n^{k}}\) (où \(k \in \mathbb{N}^{*}\)) ; \(\dfrac{1}{\sqrt{n}}\) et \(e^{-n}\) ont pour limite \(0\).
• Les suites de terme général \(n\) ; \(n^{2}\) ; \(n^{3}\) ; \(n^{k}\) (où \(k \in \mathbb{N}^{*}\)) ; \(\sqrt{n}\) et \(e^{n}\) ont pour limite \(+\infty\).
• Les suites de terme général \(\dfrac{1}{n}\) ; \(\dfrac{1}{n^{2}}\) ; \(\dfrac{1}{n^{3}}\) ; \(\dfrac{1}{n^{k}}\) (où \(k \in \mathbb{N}^{*}\)) ; \(\dfrac{1}{\sqrt{n}}\) et \(e^{-n}\) ont pour limite \(0\).
Remarque : On peut même énoncer une propriété plus générale. Soit \(a\) un nombre réel :
• Si \(a > 0\) alors \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} n^{a} = +\infty\).
• Si \(a < 0\) alors \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} n^{a} = 0\).
• Si \(a > 0\) alors \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} n^{a} = +\infty\).
• Si \(a < 0\) alors \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} n^{a} = 0\).
Exemple 1 :
\(a = 3\) : \(u_{n} = n^{3}\)
\(a = 0{,}5\) : \(u_{n} = n^{1/2} = \sqrt{n}\)
\(a = -1\) : \(u_{n} = n^{-1} = \dfrac{1}{n}\)
Propriété 2 : La limite d'une suite constante est égale à sa valeur.
2 – Opérations sur les limites
• Règles pour la somme :
• Règles pour le produit :
• Règles pour le quotient :
(*) : On utilise la règle des signes pour déterminer si c'est \(+\infty\) ou \(-\infty\).
F.I. : signifie « Forme Indéterminée », c'est-à-dire que l'on ne peut pas calculer directement.
| \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_{n}\) | \(L\) | \(L\) | \(L\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_{n}\) | \(L'\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) | \(-\infty\) |
| \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} (u_{n} + v_{n})\) | \(L + L'\) | \(\mathbf{+\infty}\) | \(\mathbf{-\infty}\) | \(\mathbf{+\infty}\) | \(\mathbf{-\infty}\) | F.I. |
• Règles pour le produit :
| \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_{n}\) | \(L\) | \(L \neq 0\) | \(\infty\) | \(0\) |
|---|---|---|---|---|
| \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_{n}\) | \(L'\) | \(\infty\) | \(\infty\) | \(\infty\) |
| \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} (u_{n} v_{n})\) | \(L \times L'\) | \(\mathbf{\infty}^{*}\) | \(\mathbf{\infty}^{*}\) | F.I. |
• Règles pour le quotient :
| \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_{n}\) | \(L\) | \(L \neq 0\) | \(L\) | \(\infty\) | \(\infty\) | \(0\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_{n}\) | \(L' \neq 0\) | \(0\) | \(\infty\) | \(L\) | \(\infty\) | \(0\) |
| \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{u_{n}}{v_{n}}\) | \(\dfrac{L}{L'}\) | \(\mathbf{\infty}^{*}\) | \(\mathbf{0}\) | \(\mathbf{\infty}^{*}\) | F.I. | F.I. |
(*) : On utilise la règle des signes pour déterminer si c'est \(+\infty\) ou \(-\infty\).
F.I. : signifie « Forme Indéterminée », c'est-à-dire que l'on ne peut pas calculer directement.
Exemple 2 :
• \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{n} = 0\) et \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 1 = 1\). Donc \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \left( \dfrac{1}{n} + 1 \right) = 1\).
• \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} n^{2} = +\infty\) et \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} (-2) = -2\). Donc \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} (-2n^{2}) = -\infty\).
• \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} n = +\infty\) et \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \sqrt{n} = +\infty\). Donc \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} n\sqrt{n} = +\infty\).
• \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 3 = 3\) et \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} (n^{2} + 1) = +\infty\). Donc \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{3}{n^{2} + 1} = 0\).
• \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{2}{n} = 0\) et \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} (-3n) = -\infty\). Donc \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \left( \dfrac{2}{n} - 3n \right) = -\infty\).
Remarque : Lorsque l'on tombe sur une des 4 formes indéterminées (« \(\infty - \infty\) », « \(0 \times \infty\) », « \(\dfrac{\infty}{\infty}\) » ou « \(\dfrac{0}{0}\) »), il est souvent possible de « lever l'indétermination » en transformant le terme général de la suite.
Exemple 3 :
Calculer les limites ci-dessous.
• \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} (n^{2} - n)\) : « \(\infty - \infty\) » donc F.I. On factorise : \[\begin{aligned} \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} (n^{2} - n) &= \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} n(n - 1) \\ &= (+\infty) \times (+\infty) \\ &= +\infty \end{aligned}\]
• \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{n^{3}} \times n^{2}\) : « \(0 \times (+\infty)\) » donc F.I. On simplifie : \[\begin{aligned} \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{n^{3}} \times n^{2} &= \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{n^{2}}{n^{3}} \\ &= \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{n} \\ &= 0 \end{aligned}\]
• \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{4n + 5}{2n - 3}\) : « \(\dfrac{\infty}{\infty}\) » donc F.I. On factorise numérateur et dénominateur : \[\begin{aligned} \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{4n + 5}{2n - 3} &= \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{n\left( 4 + \dfrac{5}{n} \right)}{n\left( 2 - \dfrac{3}{n} \right)} \\ &= \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{4 + \dfrac{5}{n}}{2 - \dfrac{3}{n}} \end{aligned}\] Or, \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \left( 4 + \dfrac{5}{n} \right) = 4\) et \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \left( 2 - \dfrac{3}{n} \right) = 2\) donc par quotient, \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{4n + 5}{2n - 3} = \dfrac{4}{2} = 2\).
• \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{n - 3}{n^{2} + 1}\) : « \(\dfrac{\infty}{\infty}\) » donc F.I. On factorise : \[\begin{aligned} \dfrac{n - 3}{n^{2} + 1} &= \dfrac{n\left( 1 - \dfrac{3}{n} \right)}{n\left( n + \dfrac{1}{n} \right)} \\ &= \dfrac{1 - \dfrac{3}{n}}{n + \dfrac{1}{n}} \end{aligned}\] Or, \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \left( 1 - \dfrac{3}{n} \right) = 1\) et \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \left( n + \dfrac{1}{n} \right) = +\infty\) donc par quotient, \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{n - 3}{n^{2} + 1} = 0\).
3 – Théorèmes de comparaison
Propriété 3 : On considère deux suites \(\left( u_{n} \right)\) et \((v_{n})\) telles qu'à partir d'un certain rang \(u_{n} \leq v_{n}\).
(1) Si \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_{n} = +\infty\) alors \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_{n} = +\infty\).
(2) Si \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_{n} = -\infty\) alors \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_{n} = -\infty\).
(3) Si \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_{n} = L\) et \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_{n} = L'\) avec \(L\) et \(L'\) deux nombres réels, alors on a \(L \leq L'\).
(1) Si \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_{n} = +\infty\) alors \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_{n} = +\infty\).
(2) Si \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_{n} = -\infty\) alors \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_{n} = -\infty\).
(3) Si \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_{n} = L\) et \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_{n} = L'\) avec \(L\) et \(L'\) deux nombres réels, alors on a \(L \leq L'\).
Remarque : En particulier, si une suite convergente \(\left( u_{n} \right)\) est majorée par un réel \(M\), c'est-à-dire que pour tout rang \(n\), \(u_{n} < M\), alors sa limite \(L\) est inférieure ou égale à \(M\).
Exemple 4 :
Pour tout \(n \geq 0\), on a \(0 < \dfrac{n}{n + 1} < 1\) donc si la limite existe on a \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{n}{n + 1} \in [0\ ;\ 1]\).
Exemple 5 :
Déterminer \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \sqrt{n^{2} + 1}\) : Pour tout \(n \geq 0\), on a \(n^{2} + 1 > n^{2}\) d'où \(\sqrt{n^{2} + 1} > \sqrt{n^{2}} = n\) (par croissance de la fonction racine carrée sur \([0\ ;\ +\infty[\)).
Or, \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} n = +\infty\) donc \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \sqrt{n^{2} + 1} = +\infty\).
Propriété 4 (Théorème des gendarmes) : On considère trois suites \(\left( u_{n} \right)\), \((v_{n})\) et \((w_{n})\) telles qu'à partir d'un certain rang \(u_{n} \leq v_{n} \leq w_{n}\).
Si \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_{n} = L\) et \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} w_{n} = L\) alors \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_{n} = L\).
Si \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_{n} = L\) et \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} w_{n} = L\) alors \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_{n} = L\).
Remarque : Cette propriété est appelée le théorème des gendarmes car la suite \(\left( v_{n} \right)\) est comme « encadrée » par deux gendarmes, les suites \(\left( u_{n} \right)\) et \(\left( w_{n} \right)\), qui en convergeant toutes deux vers la limite \(L\), ne laissent pas d'autre choix à la suite \((v_{n})\) que de converger aussi vers \(L\).
Illustration du théorème des gendarmes
Illustration du théorème des gendarmes
Exemple 6 :
Déterminer la limite de la suite \((v_{n})\) définie pour tout entier naturel \(n \geq 1\), par \(v_{n} = \dfrac{2\cos(n)}{n^{2}}\).
Pour tout entier naturel \(n\), on a \(-1 \leq \cos(n) \leq 1\).
En multipliant par \(2\) l'inégalité précédente on obtient \(-2 \leq 2\cos(n) \leq 2\).
Puis en divisant par \(n^{2}\) qui est positif (car \(n \geq 1\)) on obtient \(\dfrac{-2}{n^{2}} \leq \dfrac{2\cos(n)}{n^{2}} \leq \dfrac{2}{n^{2}}\).
Or, \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{-2}{n^{2}} = 0\) et \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{2}{n^{2}} = 0\) donc d'après le théorème des gendarmes \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_{n} = 0\).
