1 – Rappels
| Suites arithmétiques | Suites géométriques | |
|---|---|---|
| Formule de récurrence | \(u_{n + 1} = u_{n} + r\) | \(u_{n + 1} = q \times u_{n}\) |
| Formule explicite | \(u_{n} = u_{0} + nr\) ou \(u_{n} = u_{p} + (n - p)r\) | \(u_{n} = u_{0} \times q^{n}\) ou \(u_{n} = u_{p} \times q^{n - p}\) |
| Sens de variation | \(r > 0\) : croissante ; \(r < 0\) : décroissante ; \(r = 0\) : constante | Pour \(u_{0} > 0\) (on inverse pour \(u_{0} < 0\)) : \(q > 1\) : croissante ; \(0 < q < 1\) : décroissante ; \(q = 1\) : constante |
2 – Limites
Propriété 1 : On considère une suite arithmétique \((u_{n})\) de raison \(r\) et de premier terme \(u_{0}\).
• Si \(r > 0\) alors \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_{n} = +\infty\).
• Si \(r < 0\) alors \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_{n} = -\infty\).
• Si \(r = 0\) alors \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_{n} = u_{0}\).
• Si \(r > 0\) alors \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_{n} = +\infty\).
• Si \(r < 0\) alors \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_{n} = -\infty\).
• Si \(r = 0\) alors \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_{n} = u_{0}\).
Propriété 2 : Soit \(q\) un nombre réel.
• Si \(q > 1\) alors \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} q^{n} = +\infty\).
• Si \(-1 < q < 1\) alors \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} q^{n} = 0\).
• Si \(q = 1\) alors \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} q^{n} = 1\).
• Si \(q > 1\) alors \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} q^{n} = +\infty\).
• Si \(-1 < q < 1\) alors \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} q^{n} = 0\).
• Si \(q = 1\) alors \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} q^{n} = 1\).
Remarques :
• Lorsque \(q \leq -1\) alors la suite \((q^{n})\) n'a pas de limite.
• Cette propriété permet, à partir de la formule explicite, de déterminer la limite d'une suite géométrique.
• Lorsque \(q \leq -1\) alors la suite \((q^{n})\) n'a pas de limite.
• Cette propriété permet, à partir de la formule explicite, de déterminer la limite d'une suite géométrique.
Figure : Représentation graphique et limite de la suite \(u_{n} = q^{n}\) en fonction de \(q\).
\(q = 1{,}5\) : \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_{n} = +\infty\)
\(q = 0{,}5\) : \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_{n} = 0\)
\(q = -0{,}8\) : \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_{n} = 0\)
\(q = -1{,}4\) : pas de limite
\(q = 1{,}5\) : \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_{n} = +\infty\)
\(q = 0{,}5\) : \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_{n} = 0\)
\(q = -0{,}8\) : \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_{n} = 0\)
\(q = -1{,}4\) : pas de limite
Exemple 1 :
• \(\left( u_{n} \right)\) définie par \(u_{0} = 5\) et \(u_{n + 1} = u_{n} - 3\). C'est une suite arithmétique de raison \(r = -3 < 0\).
On a donc \(u_{n} = 5 - 3n\) et \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_{n} = -\infty\).
• \(\left( v_{n} \right)\) définie par \(v_{1} = 3\) et \(v_{n + 1} = 0{,}8 \times v_{n}\). C'est une suite géométrique de raison \(q = 0{,}8\).
\(v_{n} = v_{1} \times q^{n - 1} = 3 \times 0{,}8^{n - 1}\). Comme \(-1 < 0{,}8 < 1\), \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 0{,}8^{n} = 0\) donc \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_{n} = 0\).
3 – Somme des termes
Pour toute suite \((u_{n})\) on note \(S_{n}\) la somme de ses \(n + 1\) premiers termes : \(S_{n} = u_{0} + u_{1} + \ldots + u_{n} = \displaystyle\sum_{k = 0}^{n} u_{k}\).
Propriété 3 : Si \(q \neq 1\) alors \(1 + q + q^{2} + \ldots + q^{n} = \dfrac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}\).
Démonstration
Montrons par récurrence la propriété \(P_{n}\) : « \(1 + q + q^{2} + \ldots + q^{n} = \dfrac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}\) » pour \(q \neq 1\).• Initialisation : pour \(n = 0\) : à gauche \(1\) ; à droite \(\dfrac{1 - q^{1}}{1 - q} = \dfrac{1 - q}{1 - q} = 1\). Donc \(P_{0}\) est vraie.
• Hérédité : soit \(n \geq 0\) fixé. On suppose \(P_{n}\) vraie. Alors, en ajoutant \(q^{n + 1}\) aux deux membres : \[\begin{aligned} 1 + q + q^{2} + \ldots + q^{n} + q^{n + 1} &= \dfrac{1 - q^{n + 1}}{1 - q} + q^{n + 1} \\ &= \dfrac{1 - q^{n + 1} + q^{n + 1}(1 - q)}{1 - q} \\ &= \dfrac{1 - q^{n + 1} + q^{n + 1} - q^{n + 2}}{1 - q} \\ &= \dfrac{1 - q^{n + 2}}{1 - q} \end{aligned}\] c'est \(P_{n + 1}\).
• Conclusion : par récurrence, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) et tout réel \(q \neq 1\), \(1 + q + q^{2} + \ldots + q^{n} = \dfrac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}\). □
Propriété 4 :
• Si \(\left( u_{n} \right)\) est une suite arithmétique alors \(S_{n} = (n + 1) \times \dfrac{u_{0} + u_{n}}{2}\)
(nombre de termes \(\times \dfrac{\text{premier} + \text{dernier}}{2}\)).
• Si \(\left( u_{n} \right)\) est une suite géométrique de raison \(q \neq 1\) alors \(S_{n} = u_{0} \times \dfrac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}\)
(premier terme \(\times \dfrac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1 - q}\)).
• Si \(\left( u_{n} \right)\) est une suite arithmétique alors \(S_{n} = (n + 1) \times \dfrac{u_{0} + u_{n}}{2}\)
(nombre de termes \(\times \dfrac{\text{premier} + \text{dernier}}{2}\)).
• Si \(\left( u_{n} \right)\) est une suite géométrique de raison \(q \neq 1\) alors \(S_{n} = u_{0} \times \dfrac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}\)
(premier terme \(\times \dfrac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1 - q}\)).
Attention : bien compter le nombre de termes. De \(u_{3}\) à \(u_{10}\) il y a \(10 - 3 + 1 = 8\) termes, pas \(7\).
Remarque : Si \(\left( u_{n} \right)\) est géométrique de raison \(q\) avec \(-1 < q < 1\) alors \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} S_{n} = \dfrac{u_{0}}{1 - q}\), car \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} q^{n + 1} = 0\).
Exemple 2 :
On fait osciller un pendule au bout d'une ficelle de \(50\ \text{cm}\). Les frottements de l'air ralentissent le pendule : on considère qu'à chaque balancement il parcourt une distance diminuée de \(1\ \%\) par rapport au balancement précédent. Le pendule est lâché, écarté de sa position d'équilibre de sorte que la ficelle soit parallèle au sol. On note \(d_{n}\) la distance parcourue par le pendule lors du balancement numéro \(n\) (le premier balancement porte le numéro \(0\)).
1) Justifier que \(\left( d_{n} \right)\) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
• Un balancement fait passer le pendule d'un côté à l'autre : il décrit un demi-cercle de rayon \(50\ \text{cm}\) (90° de descente puis 90° de montée ; en réalité un peu moins à cause des frottements…).
On a donc \(d_{0} = \pi \times 50 = 50\pi \approx 157{,}1\ \text{cm}\).
• À chaque balancement, la distance diminue de \(1\ \%\) : \(d_{n + 1} = \left( 1 - \dfrac{1}{100} \right) \times d_{n} = 0{,}99 \times d_{n}\).
La suite \(\left( d_{n} \right)\) est donc géométrique de raison \(q = 0{,}99\) et de premier terme \(d_{0} = 50\pi\).
2) Calculer la distance totale parcourue par le pendule.
• On considère que le pendule oscille à l'infini (en réalité ce n'est pas le cas…).
• La distance parcourue après les balancements \(0\) à \(n\) est \(S_{n} = d_{0} + d_{1} + \ldots + d_{n}\). D'après la propriété 4 :
\(S_{n} = d_{0} \times \dfrac{1 - 0{,}99^{n + 1}}{1 - 0{,}99}\). Comme \(-1 < 0{,}99 < 1\), \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 0{,}99^{n + 1} = 0\), donc : \[\begin{aligned} \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} S_{n} &= \dfrac{d_{0}}{1 - q} \\ &= \dfrac{50\pi}{1 - 0{,}99} \\ &= \dfrac{50\pi}{0{,}01} \\ &= 5\,000\pi \approx 15\,708\ \text{cm} \end{aligned}\] soit environ \(157\ \text{m}\).
